2.4.2 Delta对冲结果

开始阶段合理价格应为1.270元的期权的市场价格为2.270元，处于被高估1.000元的状态。此处和一阶二叉树模型案例的做法一样，先卖出1份该期权，再买入与该期权的Delta值（0.734）相同的股票，使整个组合的Delta值为0。

下面计算构建该组合所需要的资金。首先，卖出期权将会有2.270元入账。其次，买入0.734份标的资产需要3.670（5×0.734=3.670）元。将期权卖出所得资金用于买入标的资产，将有1.400（3.670-2.270=1.400）元的资金缺口。该资金缺口用银行借款（利率5%）解决，期初的借款总额为1.4元，在偿还之前，这笔资金会在以后的阶段中各产生5%的利息。下一阶段标的资产价格为6.250元，期权的Delta值为0.885。标的资产的Delta值恒为1，而期权的Delta值从0.734增加到0.885。但是当前为卖出期权的持仓，因此整个组合的Delta值变成-0.151。想要让组合保持Delta中性只需要买入0.151份标的资产，这时需要的现金为0.944（0.151×6.250=0.944）元。

计算这个阶段的借款总额。首先会有前一阶段借款和利息展期到本阶段，如1.456（1.4×1.05=1.456）元是上一阶段借入的本金和利息之和。本阶段的借款总额为本阶段Delta对冲所需的0.944元与上一阶段借款的本金和利息（1.456）之和，即2.414元。在每个阶段重复这样的计算，通过买入和卖出标的资产使投资组合的Delta值保持为0，这个过程就是Delta对冲。上面的案例可用表2.1表示，新增借款表示该时点Delta对冲所需的资金，展期借款为前一期借款和利息之和，借款总额为新增借款和展期借款之和。

经过这些路径，在每个时点都进行必要的Delta对冲后，到期时所能得到的损益是怎样的？到期时，因为要平掉标的资产，所以会有现金流入。由于一阶二叉树模型只进行一次Delta对冲操作，因此最初持有的标的资产份数不会变化，而多阶二叉树模型中各时点Delta值会有变化，即到期时的Delta值和初始的Delta值不同。在上面案例中，由于所选路径Delta值最终变为1，因此到期时持有的标的合约数量应为1，到期时平标的资产产生5元的现金流入，借款总额为3.785元，偿还该借款后会有1.215（5-3.785=1.215）元的净收益。最初阶段期权高估部分为1元，该高估部分在经过4个阶段后变成1.2155（1.000×(1+0.05)4=1.2155）元。

这个值和Delta对冲所得的结果相比有0.0005元的误差，这并非是计算错误，而是在求Delta值时只计算到小数点后3位导致的误差。如果提高计算的精确度，Delta对冲获得的收益就会和期权被高估的部分相同。