2.2　正弦信号

正弦信号和余弦信号仅在相位上相差，因此经常统称为正弦信号。

一、正弦信号的波形

1．正弦信号

s(t)=Asin(2πft+φ)，其中A是幅度，f是频率，φ是初相，如图2-2所示。

假定：A=1，f=1Hz，φ=0

则：s(t)=sin2πft，其波形如图2-3所示。

2．余弦信号

s(t)=Acos(2πft+φ)，其中A是幅度，f是频率，φ是初相，如图2-4所示。

假定：A=1，f=1Hz，φ=0

则：s(t)=cos2πft，其波形如图2-5所示。

二、正弦信号的特性

1．正弦信号的积分特性

正弦信号有一些非常好用的性质，其中一个就是积分特性。

对一个正弦信号做积分，当积分区间取正弦信号周期的整数倍时，积分结果为零。

正弦信号：s(t)=Asin(2πf₀t+φ)

在整数个周期做积分：

其中，

n是整数；

T₀是正弦信号的周期：。

根据积分的几何意义：信号波形与时间轴的积分区间部分围出一个封闭图形，对信号求积分就是求这个封闭图形面积的代数和。上述结论显然是成立的，由正弦信号的周期性和对称性直接就可以得到，如图2-6所示。

2．正弦信号的正交特性

正弦信号的另外一个非常好用的性质就是正交特性：正弦信号集合{sin2πf₀t，cos2πf₀t，sin4πf₀t，cos4πf₀t，sin6πf₀t，cos6πf₀t，…}由基波{sin2πf₀t，cos2πf₀t}和二次谐波{sin4πf₀t，cos4πf₀t}等各次谐波组成。

在这个正弦信号集合中：

• 　任意2个正弦信号的乘积在基波周期内的积分结果都为0。

• 　任意1个正弦信号与自身的乘积在基波周期内的积分结果都为。

证明：

由三角函数的和差化积公式：

cos(α+β)=cos α cos β-sin αsin β

cos(α-β)=cos α cos β+sin αsin β

sin(α+β)=sin α cos β+cos αsin β

sin(α-β)=sin α cos β-cos αsin β

很容易推导出三角函数的积化和差公式：

将α=2mπf₀t，β=2nπf₀t代入积化和差公式，得

当m≠n时，分别对式(2-1)、(2-2)、(2-3)在基波周期内进行积分，由于m-n次谐波分量和m+n次谐波分量的积分结果都是0，因此得：

当m=n时，式(2-1)、(2-2)、(2-3)三个式子化为：

分别对式(2-4)、(2-5)、(2-6)在基波周期内进行积分，由于m+n次谐波分量的积分结果都是0，所以得：

至此，正弦信号的正交特性证明完毕。