三、四个重要的等值公式

（一）公式的等值

上面提到，一个蕴涵式命题和它的逆否式是等值的。

两个公式等值，是指在任何情况下，它们的真假情况都一样。如果其中一个成立，则另一个成立；如果其中一个不成立，则另一个不成立。二者之间是当且仅当的充要条件关系。两个等值的公式，形式可以不一样，但表达相同的逻辑内容。

有的等值关系，靠直觉不难把握，如一个蕴涵式命题和它的逆否式，即“A→B”与“¬B→¬A”等值。但有的等值关系难以靠直觉来把握，如下例。

【思考2-15】　总经理说：如果提拔小张，就要提拔小李。

董事长说：我不同意。

以下哪项等同于董事长的意思？

A.如果提拔小张，则不能提拔小李。

B.小张要提拔，但小李不能提拔。

【解析】　此题的正确答案是B。凭直觉很可能选A。为什么答案是B而不是A？因为A符合董事长的意思，但不等同于董事长的意思；而B等同于董事长的意思。

此题的结构如下：

总经理：张→李。

董事长：¬（张→李）。

A.张→¬李

B.张∧¬李

答案是B。因为“¬（张→李）”和“张∧¬李”等值。一般地，“¬（A→B）”和“A∧¬B”等值。

逻辑学有判定公式等值的一般性方法，应对MBA测试不需要掌握这些方法，只需要记住并正确运用以下四个重要的等值公式：

¬（A∧B）=（¬A∨¬B）

¬（A∨B）=（¬A∧¬B）

¬（A→B）=（A∧¬B）

（A∨B）=（¬A→B）

（二）德摩根律

以下两个等值公式称为德摩根律：

¬（A∧B）=（¬A∨¬B）

¬（A∨B）=（¬A∧¬B）

例如：

（并非：小张既高又胖）=小张不高或者小张不胖

（并非：小张失约或者他没有接到通知）=小张没有失约并且他接到了通知

记住：根据德摩根律，否定“且”，得到“或”；否定“或”，得到“且”。这要成为我们的逻辑直觉。

【思考2-16】　分别写出与下列命题等值的肯定命题。

（1）并非：小张既不高又不胖。

（2）并非：小张高而不胖。

（3）并非：小张不高但胖。

（4）并非：不游香山或者不登长城。

（5）并非：游香山或者不登长城。

（6）并非：不游香山或者登长城。

【解析】　（1）小张高或者胖；（2）小张不高或者胖；（3）小张高或者不胖；（4）既又游香山又登长城；（5）不游香山但登长城；（6）游香山但不登长城。

顺便提一下：¬（要么A，要么B）＝（A∧B）∨（¬A∧¬B）。不难理解：否定“要么A，要么B”，就是断定“要么A，要么B”是假的；“要么A，要么B”只有在A和B二者都真或者都假的情况下是假的。

（三）条件关系的否定

否定“且”，得到“或”；否定“或”，得到“且”。那么，否定“则”得到什么呢？记住下面这个在应试中多有应用的公式：

¬（A→B）=（A∧¬B）

这个等式是怎么得到的？A→B的含义是：A是B的充分条件，即有A一定有B，不会有A而无B。用公式表示则为

（A→B）=¬（A∧¬B）

等式两边同时否定，得

¬（A→B）=¬¬（A∧¬B）

由此得到

¬（A→B）=（A∧¬B）

多种类型的MBA试题可能涉及上面这个公式，以下三道例题是三种不同的类型。可以用不同的解法对比一下：仅凭日常思维，也能解答下列各题；但借助上面这个公式，可使思考大为简明。

【例2-5】　总经理：如果提拔小张，那么要提拔小李。

以下哪项如果为真，说明总经理的上述承诺没有兑现？

A.小张没提拔，但小李提拔了。

B.小张和小李都没提拔。

C.小张提拔了，但小李没提拔。

D.小张和小李都提拔了。

E.小张和小李至少提拔了一个。

【解析】　总经理承诺：张→李。

¬（张→李）=（张∧¬李）

答案是C。

【例2-6】　总经理：如果提拔小张，那么要提拔小李。

董事长：既然你作出了此承诺，那为什么提拔了小李，却没有提拔小张？

董事长最可能把总经理的承诺理解为：

A.小张和小李都不提拔。

B.小张和小李至少要提拔一个。

C.只有提拔小李，才能提拔小张。

D.只有提拔小张，才能提拔小李。

E.除非提拔小李，否则不提拔小张。

【解析】

总经理：张→李

董事长：李∧¬张　=　¬（李→张）

董事长否定的是“李→张”，即“只有提拔小张，才能提拔小李”，这说明他把总经理的承诺理解为“只有提拔小张，才能提拔小李”。答案是D。

【例2-7】　总经理：如果提拔小张，那么要提拔小李。

董事长：只有提拔小张，才提拔小李。

人事部长：提拔小张，但不提拔小李。

如果上述三个承诺中只有一个兑现，可推出以下哪个结论？

A.小张和小李都被提拔。

B.小张和小李都未被提拔。

C.小张被提拔，小李未被提拔。

D.小张未被提拔，小李被提拔。

E.以上结论都不能被推出。

【解析】　

总经理：张→李

董事长：李→张

人事部长：张∧¬李

总经理和人事部长的承诺互相矛盾，必有一个兑现。因此，董事长的承诺没有兑现。由此可推出：

¬（李→张）=李∧¬张

即小张未被提拔，小李被提拔。答案是D。

上面三个等值公式都涉及否定。否定是一种重要的逻辑思考形式，MBA试题对否定多有涉及。以下思考题是关于否定的练习。

【思考2-17】　分别指出在何种情况下以下各项承诺没有兑现。

（1）不提拔李，但提拔赵。

（2）李和赵至少提拔一人。

（3）除非不提拔李，否则提拔赵。

（4）如果提拔李，就不能提拔赵。

（5）李和赵至多提拔一人。

（6）只有提拔李，才提拔赵。

（7）罚款，或者停业。

（8）要么罚款，要么停业。

【解析】　要断定在何种情况下某项承诺没有兑现，方法是，先分析该项承诺的结构，并对其否定，否定所得出的结果，就是所要断定的情况。

第（1）项承诺的结构是：¬李∧赵。则：

¬（¬李∧赵）＝李∨¬赵

因此，在提拔李或不提拔赵的情况下，承诺（1）没有兑现。

第（2）项承诺的结构是：李∨赵。则：

¬（李∨赵）＝¬李∧¬赵

因此，在李和赵都不提拔的情况下，承诺2没有兑现。

第（3）项承诺的结构是：¬（¬李）→赵＝李→赵。则：

¬（李→赵）＝李∧¬赵

因此，在提拔李但不提拔赵的情况下，承诺（3）没有兑现。

第（4）项承诺的结构是：李→¬赵。则：

¬（李→¬赵）＝李∧赵

因此，在李和赵都提拔的情况下，承诺（4）没有兑现。

第（5）项承诺的结构是：¬（李∧赵）＝¬李∨¬赵。则：

¬（¬李∨¬赵）＝李∧赵

因此，在李和赵都提拔的情况下，承诺（5）没有兑现。

第（6）项承诺的结构是：赵→李。则：

¬（赵→李）＝赵∧¬李

因此，在提拔赵但不提拔李的情况下，承诺（6）没有兑现。

第（7）项承诺的结构是：罚款∨停业。则：

¬（罚款∨停业）＝¬罚款∧¬停业

因此，在既未罚款又未停业的情况下，承诺（7）没有兑现。

第（8）项承诺的结构是：要么罚款，要么停业。则：

¬（要么罚款，要么停业）＝（罚款∧停业）∨（¬罚款∧¬停业）

因此，在既罚款又停业或者既未罚款又未停业的情况下，承诺（8）没有兑现。

【例2-8】　*小张是某公司营销部的员工。公司经理对他说：“如果你争取到这个项目，我就奖励你一台笔记本电脑或者给你项目提成。”

以下哪项如果为真，说明该经理没有兑现承诺？

A.小张没有争取到这个项目，该经理没有给他项目提成，但送了他一台笔记本电脑。

B.小张没有争取到这个项目，该经理没奖励给他笔记本电脑，也没给他项目提成。

C.小张争取到了这个项目，该经理给他项目提成，但并未奖励他笔记本电脑。

D.小张争取到了这个项目，该经理奖励他一台笔记本电脑并给他三天假期。

E.小张争取到了这个项目，该经理未给他项目提成，但只奖励了他一台台式电脑。

【解析】　题干的承诺是：

争取到项目→（笔记本电脑∨提成）

这一承诺的否定是：

争取到项目∧¬笔记本电脑∧¬提成

即只有在“争取到项目，但既未得笔记本电脑，又未获提成”的情况下，才能说明题干的承诺没有兑现。答案是E。

【例2-9】　*在家电产品“三下乡”活动中，某销售公司的产品受到了农村居民的广泛欢迎。该公司总经理在介绍经验时表示：只有用最流行畅销的明星产品面对农村居民，才能获得他们的青睐。

以下哪项如果为真，最能质疑总经理的论述？

A.某品牌电视由于其较强的防潮能力，尽管不是明星产品，仍然获得了农村居民的青睐。

B.流行畅销的明星产品由于价格偏高，没有赢得农村居民的青睐。

C.流行畅销的明星产品只有质量过硬，才能获得农村居民的青睐。

D.有少数娱乐明星为某些流行畅销的产品做虚假广告。

E.流行畅销的明星产品最适合城市中的白领使用。

【解析】　题干断定：

青睐→明星产品

其否定是：

青睐∧¬明星产品

因此，A项最能质疑。

（四）“或”与“则”的等值置换

“或”与“则”的等值置换，是指以下等值式成立：

（A∨B）=¬A→B

（A→B）=（¬A∨B）

上述两个等式不是独立的。也就是说，由其中的一个等式成立，显然可以证明另一个等式成立。

上述等值式说明，在日常表达中，可以用“则”来替代“或”，或者用“或”来替代“则”，而不改变所表达的逻辑内容。

第一个等式是说，可以用“则”来替代“或”。这比较直观，例如，“小李当选或小张当选”，可以表达为“如果小李不当选，则小张当选”。

第二个等式是说，可以用“或”来替代“则”。这不太直观。例如，“如果天下雨，则地上湿”，可以表达为“天不下雨，或者地上湿”。

不管其直观程度如何，这种“或”与“则”的等值置换是普遍成立的。应对MBA逻辑测试，需要使这种等值置换如同德摩根律那样成为一种直觉。

“或”与“则”的等值置换，有一种简单的操作方法，这种方法可以使这种替代不必经过对命题具体内容的思考。

“或”与“则”的等值置换，无非是使原来“或”的左件和右件，适当地分别成为“则”的前件和后件；或者使原来“则”的前件和后件，适当地分别成为“或”的左件和右件。方法是：

第一，保持右件（后件）公式不变。

第二，改变左件（前件）公式的否定符。

所谓改变一个公式的否定符是指，如果该公式前端无否定符，则加上否定符；如果该公式前端有否定符，则删去该否定符。例如：

（¬A∨B）=A→B

（A→¬B）=（¬A∨¬B）

【思考2-18】　对下列各项进行“或”、“则”等值置换：

（1）李和赵至少提拔一人。

（2）李和赵至多提拔一人。

（3）除非不提拔李，否则提拔赵。

（4）如果提拔李，就不能提拔赵。

（5）只有提拔李，才提拔赵。

（6）除非同时提拔李和赵，否则不提拔张。

【解析】

（1）李∨赵=¬李→赵。

（2）¬（李∧赵）＝¬李∨¬赵＝李→¬赵。

（3）¬（¬李）→赵＝李→赵＝¬李∨赵。

（4）李→¬赵＝¬李∨¬赵。

（5）赵→李＝¬赵∨李。

（6）¬（李∧赵）→¬张＝（李∧赵）∨¬张。

【例2-10】　*临江市地处东部沿海，下辖临东、临西、江南、江北四个区，近年来，文化旅游产业成为该市的经济增长点。2010年，该市一共吸引全国数十万人次游客前来参观旅游。12月底，关于该市四个区吸引游客人数多少的排名，各位旅游局长作了如下预测。

临东区旅游局长：如果临西区第三，那么江北区第四。

临西区旅游局长：只有临西区不是第一，江南区才是第二。

江南区旅游局长：江南区不是第二。

江北区旅游局长：江北区第四。

最终的统计表明，只有一位局长的预测符合事实，则临东区当年吸引游客人次的排名是：

A.第一。

B.第二。

C.第三。

D.第四。

E.在江北区之前。

【解析】　这是2012年一道有难度的真题。由题干，以下四个断定只有一真：

①临西第三→江北第四；

②江南第二→¬临西第一；

③¬江南第二；

④江北第四。

这是一种常见题型。解答这类题，首先分析诸断定中是否有两个互相矛盾（因为互相矛盾的断定必有一真）；如果没有断定互相矛盾，则再分析哪个断定如果真，则必有另一断定也真，因而该断定假。

上述四个断定中，没有两个互相矛盾。是否有一个断定真，另一个也真呢？这里，把题干的前两个断定中的“则”，用“或”加以置换，可使解题思考豁然开朗。

①临西第三→江北第四=¬临西第三∨江北第四；

②江南第二→¬临西第一=¬江南第二∨¬临西第一。

由此，题干的条件可如下述：

①¬临西第三∨江北第四；

②¬江南第二∨¬临西第一；

③¬江南第二；

④江北第四。

如果③真，则②真，因此③假；如果④真，则①真，因此④假。由③和④假，得江南是第二，江北不是第四，即江北和江南都不是第四，第四只可能是临西或临东。如果①假，则临西第三；如果②假，则临西第一。①和②必有一假，因此，临西不可能是第四。结论：第四是临东。答案是D。

这是一道难度较大的真题，但上述整个解题思考不超过一分钟。从历年的真题来看，只要思考得法，都可以在一分钟内“搞定”，问题是如何“思考得法”。如果一道真题，文字解析篇幅很长，即使每一步都无误，也不会是实考所需要的。

（五）综合样题

【例2-11】　要发展，必须稳定。

以下哪项的意思都和题干的断定相同？

Ⅰ.保持稳定，就能发展。

Ⅱ.除非稳定，否则不能发展。

Ⅲ.或者稳定，或者不发展。

A.只有Ⅰ。

B.只有Ⅱ。

C.只有Ⅲ。

D.只有Ⅱ和Ⅲ。

E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

【解析】　题干：发展→稳定。

Ⅰ.稳定→发展　×

Ⅱ.¬稳定→¬发展　√

Ⅲ.稳定∨¬发展　√

答案是D。

【例2-12】　航空公司承诺：只要不起雾，飞机就按时起飞。

以下哪项如果为真，说明航空公司的承诺没有兑现？

Ⅰ.没起雾，但飞机没按时起飞。

Ⅱ.起雾，但飞机仍然按时起飞。

Ⅲ.起雾，飞机航班延期。

A.只有Ⅰ。

B.只有Ⅱ。

C.只有Ⅲ。

D.只有Ⅱ和Ⅲ。

E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

【解析】　承诺：

¬起雾→起飞

否定该承诺：

¬（¬起雾→起飞）

=¬起雾∧起飞

答案是A。

【例2-13】　鱼和熊掌不可兼得。

以下哪项断定符合题干的断定？

Ⅰ.鱼和熊掌皆不可得。

Ⅱ.鱼不可得或熊掌不可得。

Ⅲ.如果鱼可得则熊掌不可得。

A.只有Ⅰ。

B.只有Ⅱ。

C.只有Ⅲ。

D.Ⅱ和Ⅲ。

E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

【解析】

答案是D。