第3章 基于时间谱元法的动态响应优化方法

对于可建立精确物理模型的机械结构，在动态载荷作用下，为使机器动态性能指标达到极值，我们可以建立动态响应方程，然后对其进行动态响应优化。当然，并行化可以对动态响应优化起到一定的作用，但其只是从如何减小耗时方面考虑，然而，在动态响应优化求解过程中，仿真模型的精度给动态响应优化带来困难，因此对这类问题非常有必要研究一种高精度、高效率求解动态响应的技术。

有限差分法在与时间相关响应的数值计算方法中占主导地位。此方法从初始条件开始，用小时间步长计算与时间相关的二阶微分方程或方程组，直到达到收敛要求。时间步长的大小决定了计算的稳定性与准确性，也会影响计算效率。如果在经过多个瞬态周期并达到稳态循环后，再计算周期响应，计算效率会明显提高。但是，当系统受脉冲激励时，基于频率的方法对解决响应快速变化的问题精度不高。在文献［44］中，对于脉冲激励的动力系统，在半连续附近采用h型精细方案的谱元法，并且将微分方程或方程组转化为代数方程组，在不增加单元数的前提下达到谱收敛精度。

文献［112］提出将设计变量和位移响应，设计变量和位移响应、速度响应，设计变量和位移响应、速度响应、加速度响应作为优化变量的三种方案，应用有限差分法近似和时间相关的约束，将运动微分方程作为等式约束处理，这样就用显式形式给出了优化变量的梯度表达式，从而高效求得梯度信息。可是将一个少变量问题变成高维问题，不仅求解困难，而且很难收敛。对于动态响应最大值最小问题，由于在迭代过程中最大响应是振荡的，直接处理目标函数是很难收敛的［113］，因此，可以预先给定一个全局最大响应系数，在优化过程中，要使大于这个全局最大响应系数的局部动态响应最大值最小。

有限元法最大的特点是它将微分方程或方程组转化为代数方程组［114］。这样就可以获得响应对设计变量的更多显式关系，从而有效地计算响应的灵敏度。在本书中，我们应用时间谱元法在时间域上离散微分方程或微分方程组。1984年，Patera提出了谱元法［42］，它既有有限元法的处理边界和结构灵活性，又有谱方法的快速收敛性。在一个单元内，谱元法将时间离散为与GLL多项式零点相对应的网格点，在这些点上进行Lagrange插值，然后在整个时间区间上解微分方程或微分方程组，从而得到瞬态响应和稳态响应。在求解脉冲激励响应时，应用谱元法在整个时间区间上进行时间离散，通过在激励突变附近增加插值次数，或者减少单元尺寸来体现其局部灵活性［44］。

对承受瞬态载荷的结构优化自20世纪70年代就开始研究了。2006年，Kang等人［37］首次把动态响应优化作为优化的一个分支。在其优化中，设计变量每迭代一次，就需要计算一次时间响应，同时，必须在整个时间区间内满足约束。处理时间约束的方法：一种是只在响应的全局最大值处满足约束；另一种是在更小的时间步长上满足约束，从而使中间点处不可能发生约束失效，这种方法更稳定。准静态方法应用这种方法来使多个等静态载荷满足约束［115］。在这两种方法中，约束数量大大增加，由于在优化迭代过程中，要计算这些约束的灵敏度，因此这样优化的耗费也在增加。还有一种更加有效的处理时间约束的方法，即只在响应的局部极值点处处理约束，这样减少了约束数量，并减少了计算约束对设计变量灵敏度的次数［116］。

本章通过应用时间谱元法来有效优化激励动态系统，并比较了在GLL点执行约束与在响应的局部极值点执行约束的优化成本。