7.3　全微分

7.3.1　全微分的概念

在第2章中我们讨论了一元函数y=f（x）用自变量的增量Δx的线性函数AΔx近似代替函数的增量Δy的问题，即

Δy=f（x+Δx）-f（x）≈AΔx，

现在对于二元函数也要讨论类似的问题.为此，我们首先给出二元函数的全增量的概念.

如果函数z=f（x，y）在点P（x，y）的某邻域内有定义，并设P′（x+Δx，y+Δy）为此邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差

f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）

为二元函数z=f（x，y）在点P对应于自变量增量Δx，Δy的全增量，记为Δz，即

Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）

一般地，计算二元函数的全增量比较复杂，所以，当|Δx|和|Δy|充分小时，与一元函数类似，我们也希望用自变量的增量Δx和Δy的线性函数来近似代替二元函数的全增量Δz.为此，引入二元函数全微分的定义.

定义7.5　如果函数z=f（x，y）在点P（x，y）的某邻域内有定义，且其全增量Δz可以表示为

Δz=A（x，y）Δx+B（x，y）Δy+o（ρ）.　　（7.1）

其中，A（x，y），B（x，y）与Δx，Δy无关， ，则称函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微分，而

A（x，y）Δx+B（x，y）Δy

称为函数z=f（x，y）在点P（x，y）处的全微分，记为dz，即

dz=A（x，y）Δx+B（x，y）Δy.

称上式中A（x，y）Δx为函数f（x，y）在点P（x，y）处对x的偏微分，B（x，y）Δy为函数f（x，y）在点P（x，y）处对y的偏微分.

若函数在区域D内每一点处都可微分，则称该函数在D内可微分.

7.3.2　函数可微分的必要条件和充分条件

在7.2.1中，我们研究了二元函数连续与偏导数存在之间的关系.下面的定理讨论函数f（x，y）可微分与连续，偏导数存在之间的关系.

定理7.2（必要条件）　如果函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微分，则函数f（x，y）必满足以下两个条件：

（1）在点（x，y）处必连续；

（2）在点（x，y）处的偏导数必存在，且

从而，函数z=f（x，y）在点（x，y）处的全微分为

证明　（1）设函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微分，则对于点P某邻域内的任意一点P′（x+Δx，y+Δy），（7.1）式总成立，即

f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）=A（x，y）Δx+B（x，y）Δy+o（ρ），

因此　 ，

从而函数z=f（x，y）在点（x，y）处连续.

（2）设z=f（x，y）在点P（x，y）处可微分，则

特别地，取Δy=0时（7.1）式也成立，该式化为

f（x+Δx，y）-f（x，y）=AΔx+o（|Δx|），

两边同除以Δx，并令Δx→0，得

类似可得　　 .

因此　　 .

证毕.

注意　（1）二元函数f（x，y）在点（x，y）处可微分的充分必要条件是：

当ρ→0+时，有

f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）-[fx（x，y）Δx+fy（x，y）Δy]=o（ρ）

即　　

成立；

（2）二元函数f（x，y）在点（x，y）处不连续或偏导数不存在，则函数在点（x，y）处不可微；

（3）此定理的逆命题不成立，即偏导数存在或连续的函数不一定可微.换句话说，无论偏导数存在还是连续皆为函数可微的必要条件而不是充分条件.下面两例说明了这一论断的正确性.

例如，函数在点（0，0）处偏导数存在，但是不可微（因为f（x，y）在点（0，0）处不连续）.

【例1】　设，证明：f（x，y）在点（0，0）处连续，且偏导数存在，但不可微.

证明　由7.1.4节例8知，f（x，y）在点（0，0）处连续，又因为

同理可得fy（0，0）=0，即f（x，y）在点（0，0）处偏导数存在.

下面证明函数在点（0，0）处不可微.

注意到此极限不存在，这说明

Δz-[fx（0，0）·Δx+fy（0，0）·Δy]≠o（ρ）（ρ→0+）.

因此，该函数在点（0，0）处不可微.

由上例知，函数f（x，y）在点（x，y）处的偏导数均存在，不能保证函数在点（x，y）处可微，但是如果再假定偏导数在点（x，y）处均连续，就可以保证f（x，y）在点（x，y）处可微分，即有下面定理.

定理7.3（充分条件）　如果函数z=f（x，y）的偏导数fx（x，y），fy（x，y）在点（x，y）处均连续，则函数f（x，y）在点（x，y）可微分.

分析：由fx（x，y），fy（x，y）在点（x，y）处均连续知，fx（x，y），fy（x，y）在点（x，y）的某邻域内有定义，即f（x，y）在点（x，y）的某邻域内偏导数存在.

证明　设P′（x+Δx，y+Δy）是该邻域内的任一点，则全增量为

Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）.

只要证即可.

为此，我们将全增量写成如下形式：

Δz=[f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y+Δy）]+[f（x，y+Δy）-f（x，y）].

这样，Δz可以看作两个一元函数的增量.在表达式

f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y+Δy）

中，y=y+Δy保持不变，可看作x的一元函数f（x，y+Δy）的增量，利用拉格朗日中值定理，得

f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y+Δy）=fx（x+θ1Δx，y+Δy）Δx　（0<θ1<1）.　　（7.2）

同理

f（x，y+Δy）-f（x，y）=fy（x，y+θ2Δy）Δy　（0<θ2<1）.　　（7.3）

由fx（x，y），fy（x，y）在点（x，y）处均连续得

从而有

fx（x+θ1Δx，y+Δy）=fx（x，y）+α1，　fy（x，y+θ2Δy）=fy（x，y）+α2.

其中， ，因此，

Δz=（fx（x，y）+α1）Δx+（fy（x，y）+α2）Δy

=fx（x，y）Δx+fy（x，y）Δy+α1Δx+α2Δy.

于是

所以　　 .

这就证明了函数z=f（x，y）在点（x，y）处是可微分的.证毕.

值得注意的是，偏导数fx（x，y），fy（x，y）在点（x，y）处均连续，不是函数f（x，y）可微分的必要条件.例如，函数

在点（0，0）处可微，但是偏导数在点（0，0）不连续.

函数连续、偏导数存在、偏导数连续与可微分之间的关系如图7-8所示.

习惯上，将自变量的增量Δx，Δy分别记为dx，dy，并分别称为自变量x，y的微分，由此记法，函数f（x，y）在点（x，y）处的全微分为

由于二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和，我们称这一性质为二元函数的全微分符合叠加原理.

以上关于二元函数全微分的定义、可微分的充分条件、必要条件以及全微分存在时的表达式，可以完全类似地推广到三元以及三元以上的多元函数.例如，若三元函数u=f（x，y，z）可微分，则一定有

【例2】　求函数z=xy在点（2，3）处当Δx=0.1，Δy=0.2时的全增量与全微分.

解　Δz=（x+Δx）（y+Δy）-xy=yΔx+xΔy+ΔxΔy，

而　　 ，

将x=2，y=3，Δx=0.1，Δy=0.2分别代入上面两式，得

Δz=0.72，　dz=0.7.

【例3】　验证函数z=xexy+y在点（1，1）处可微分，并求全微分dz|（1，1）.

显然， 在点（1，1）处连续，从而函数z可微分，

所以，　dz|（1，1）=exy（1+xy）|（1，1）dx+（x2exy+1）|（1，1）dy=2edx+（e+1）dy.

【例4】　求函数u=xy2z3的全微分.

解　因为

所以，

7.3.3　全微分在近似计算中的应用

由全微分的定义及可微分的充分条件知，当函数z=f（x，y）的偏导数fx（x，y），fy（x，y）在点（x0，y0）处均连续，且|Δx|，|Δy|都较小时，就有近似式

Δz≈dz=fx（x0，y0）Δx+fy（x0，y0）Δy.

即　　f（x0+Δx，y0+Δy）≈f（x0，y0）+fx（x0，y0）Δx+fy（x0，y0）Δy.

利用上面近似式可计算二元函数的在某点处的近似值.

【例5】　计算（1.04）2.02的近似值.

分析：计算f（x0+Δx，y0+Δy）的近似值时，需要构造函数f（x，y），并确定点（x0，y0）.

解　取函数f（x，y）=xy及x0=1，y0=2，此时Δx=0.04，Δy=0.02，fx（x，y）=yxy-1，fy（x，y）=xylnx，代入上面的近似公式，得

（1.04）2.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08.

习题7-3

1.判断下列命题的正确性：

（1）若f（x，y）在点（x0，y0）处偏导数存在，则f（x，y）在点（x0，y0）处连续；

（2）若f（x，y）在点（x0，y0）处连续，则f（x，y）在点（x0，y0）处偏导数存在；

（3）若f（x，y）在点（x0，y0）处可微，则f（x，y）在点（x0，y0）处连续；

（4）若f（x，y）在点（x0，y0）处偏导数存在，则f（x，y）在点（x0，y0）处可微；

（5）若z=f（x，y）在点（x0，y0）处具有二阶连续偏导数，则f（x，y）在点（x0，y0）处必有一阶连续偏导数；

（6）若z=f（x，y）在点（x0，y0）处具有二阶偏导数，则fxy（x0，y0）=fyx（x0，y0）.

2.求函数在点（2，1）处，当Δx=0.1，Δy=-0.2时的全增量及全微分.

3.求下列函数的全微分：

4.设函数，求df（3，4，5）.

5.求的近似值.

6.证明：函数在O（0，0）处连续，但不可微.