- CFA二级中文精讲（第2版）③
- 何旋 李斯克编著
- 29775字
- 2023-07-20 11:02:19
1 远期承诺的定价与估值
本节说明
本节主要介绍远期承诺中的远期、期货以及互换3种合约价格及价值的计算。由于近年来CFA一级和二级的考纲变动较大，为了让大家对该部分内容能有一个系统的掌握以及透彻的理解，本小节中我们会有所侧重地回顾一级的相关知识后，再为大家详细讲述这3种合约价格及价值的计算方法。
知识点资产清单
·衍生产品相关知识回顾
·远期合约定价与估值的基本原则★
·股票远期/期货合约的定价与估值★★★
·远期利率协议的定价与估值★★★
·债券远期/期货合约的定价与估值★★★
·外汇远期/期货合约的定价与估值★★★
·互换合约的定价与估值★★★
1.1 衍生产品相关知识回顾
衍生产品（derivative）共分为4大类，即远期合约（forward contract）、期货合约（futures contract）、互换合约（swap contract）以及期权合约（option contract）。投资者主要运用这4类衍生产品来管理市场风险和信用风险。由于本节只涉及远期、期货及互换3类衍生产品，因此相关知识点回顾也只涉及这3类衍生产品。
衍生产品是一种金融工具，这一工具的未来回报依赖于一个标的资产（underlying）的市场价格，其中标的资产可以是证券、商品、利率或指数。
李老师说
假设我现在想买1瓶矿泉水，去商店观察到矿泉水的价格是3元/瓶，我们把这个价格称为矿泉水的即期价格（spot price）。
如果我想要获得1瓶矿泉水的时间不是现在而是3个月后，但是关于3个月后矿泉水的价格，现在我是不太清楚的，因此我面临着3个月后矿泉水价格上涨的风险。再比如我现在持有了万科的股票，3个月后这只股票的价格是涨还是跌，我现在也是不能完全确定的；我担心股票在未来3个月存在下跌的风险。还比如3个月后我将收到总值为100万美元的应收账款，我担心3个月后人民币升值，换汇后，实际收到的以人民币计价的应收账款价值减少。通过上述例子，我们不难发现，当未来价格不确定的时候，我们会面临市场风险。
那么我们应该如何回避这类风险呢？或者市场上存不存在其他交易者愿意承担我们对于未来市场价格不确定的风险从而获得额外收益呢？例如，现在我和楼下小卖部老板签订了一份合约，约定3个月后我以3.5元/瓶的价格购买1瓶矿泉水，因为小卖部老板也担心3个月后矿泉水的价格存在下跌的风险，便存在和我签订合约的动机。如果3个月后矿泉水的市场价格是4元/瓶，那么我可以按照合约价格3.5元/瓶在小卖部购水，再以4元/瓶的价格在市场上将水卖出，便可以赚取0.5元/瓶；如果3个月后矿泉水的市场价格为3元/瓶，那么我仍然要以3.5元/瓶的价格购买矿泉水，这时小卖部老板便赚得了0.5元/瓶。
由此我们发现，只要是针对未来交易存在的市场价格风险，我们就可以通过签订合约的方式来规避该类风险。
我们无须把衍生产品想象得过于学术。首先，衍生产品是一份合约，这份合约可以帮助投资者规避风险。其次，该份合约也能帮助投机者盈利。注意，“投机”在西方是一个中性词汇。通常，交易双方签完合约就会面临着获得一定收益的机会，这个收益取决于合约到期时的标的物价格，上述内容就是我们对于衍生产品的定义。
总结衍生产品定义的3个关键词：
·合约。
·可以规避未来价格变动风险或投机。
·合约收益取决于约定的资产价格变化。
按照合约签订的具体方式，我们可将衍生产品分为远期合约、期货合约、互换合约以及期权合约。每种类型合约的定义如表8-1所示。
表 8-1
其中远期合约是最为简单的一种衍生产品，其余衍生产品均是在远期合约的基础上发展而来的。
此外，远期合约、期货合约、互换合约在合约初始时都是权利与义务对等的衍生产品，即合约双方同时具有盈利或亏损的可能。因此，这3类衍生产品合约初始时价值都为零。而期权合约是权利与义务不对等的衍生产品，因为期权合约的多头方只有权利没有义务。
1.1.1 远期合约
远期合约是最为简单的一类金融衍生工具，它是指双方约定在未来某一个确定的时间，按照某一确定的价格买卖一定数量的某种资产的协议，即交易双方在合约签订日约定好交易对象、交易价格、交易数量和交易时间，并在这个约定的未来交易时间进行实际的交割和资金收付。
·同意在未来合约到期时购买合约中的标的金融资产或实物资产的一方，称为远期合约多头方，其购买行为称为多头。
·同意在未来合约到期时出售合约中的标的金融资产或实物资产的一方，称为远期合约空头方，其购买行为称为空头。
1.1.2 现货交易与衍生产品交易
对于现货交易，合约双方签订合约后标的资产的所有权便从出售方转移到了购买方。该标的资产未来产生的利得，如股票分红、债券利息等，均归属于资产购买方所有。
然而，对于衍生产品（如远期产品），合约签订时，标的资产所有权并未发生转移，标的资产所有权的转移发生在合约到期时。所以在远期合约期间标的资产仍归属于合约空头方，标的物期间所产生的利得，如股票分红、债券利息等，均归属于空头方所有，而非多头方。
通过图8-1，可以更为直观地看出现货交易及衍生产品交易标的资产转移时间的不同。
图 8-1
由图8-1可知，在现货交易中，标的资产所有权转移时点为合约初始签订的时间点，之后的利得均归属于购买方。而在衍生产品交易中，标的资产所有权的转移时点为合约到期时间点，合约到期后的利得才归属于合约的多头方，而合约期间的利得仍归属于合约空头方。
1.1.3 衍生产品合约的交割方式
衍生产品合约到期时（t=T）的交割方式分为实物交割（physical settlement）及现金交割（cash settlement）。每种类型的交割特点如图8-2所示。
图 8-2
如果投资者希望在合约到期前终止合约，那么他可以进入一份与原先合约拥有反向头寸并且具有相同到期日的合约以此结束合约。如果该份反向合约是同第三方签订的，那么投资者就会面临一定的信用风险（见图8-3）。
图 8-3
1.1.4 远期承诺与或有要求
金融衍生产品可按合约特点分为远期承诺（forward commitment）和或有要求（contingent claim）。
远期承诺：协议双方承诺在将来某一时点以特定价格买进或卖出一定数量的标的资产，即一方承诺在将来某一时点以特定价格买入标的资产，而另一方承诺以特定价格卖出标的资产。远期承诺包括远期合约、期货合约和互换合约。
或有要求：根据未来不确定事件是否发生而制定的一类衍生产品。
李老师说
二级考试中的衍生产品部分侧重于考查相关衍生产品定价及估值的计算。因此，本节所述的3类衍生产品定价及估值的计算请大家务必熟练掌握。虽然衍生产品内容较为抽象，公式数量较多且推导过程复杂，但是在对其具体讲解时，我们会为大家介绍如何运用时间轴图形对这3类衍生产品定价及估值求解。熟练运用时间轴作图不仅有利于我们划分清楚衍生产品中各笔现金流的发生时点以及对应的折现时长，也可以避免对相关公式的死记硬背。
1.1.5 远期合约的信用风险
信用风险（credit risk）：合约交易双方在交割时或交割后无法履行合约中规定义务所造成的风险，该风险又被称为违约风险。当合约双方中一方持有的合约价值大于零时，这一方就会面临信用风险，并且合约持有者的合约价值越大，其面临的信用风险也就越大。
·在远期合约中，市场价格是衡量信用风险的重要指标。
·远期合约双方均可能面临信用风险。因为合约双方均有可能出现持有的合约价值大于零的情况。
·远期合约双方可以通过盯市（mark-to-market）来降低信用风险。
李老师说
在远期合约到期时，远期合约的价值为到期时标的资产的市场价格和合约价格之差，因此，我们说市场价格是衡量远期合约信用风险的重要指标。
盯市是我们即将在期货合约中学习的一种结算方式。为什么盯市可以降低远期合约双方的信用风险呢？
我们可以将盯市理解为合约双方提高结算频率的一种结算方式。例如，A、B双方签订期限为180天的远期合约。若不采用盯市方式，合约双方就必须等到180天后进行结算交割。若双方约定采用盯市方式结算，双方可以分别在30天、60天、90天、180天进行结算。通过这种结算方式可以有效地降低远期合约单笔结算金额，从而降低合约双方信用风险。
1.1.6 远期合约与期货合约
1.期货合约与远期合约的相同点
·两者均可以进行实物交割。实物交割是指合约多头方有义务在未来按照约定价格从空头方购买约定数量的标的资产，同时合约空头方有义务在未来以约定价格向多头方出售约定数量的标的资产。
·两者均可以进行现金交割。现金交割是指合约双方在合约到期时按合约价值用现金进行交割的方式。
·在合约初始时刻，合约价值均为零。
2.远期合约与期货合约的不同点
远期合约与期货合约的不同点总结如表8-2所示。★
表8-2 远期合约与期货合约的不同点总结
术语解释
场外交易：专门交易那些未能在交易所挂牌上市的证券的场所，场外交易通常是通过电话或者其他电子方式完成的。
盯市：期货交易结算的概念之一，期货的结算制度是“每日无负债结算制度”，又称“逐日盯市制度”，即每个交易日结束后，对所有客户的持仓根据结算价进行结算，当日的盈利部分加入投资者的账户，当日的亏损从投资者账户中划出。
李老师说
期货合约与远期合约最大的不同之处在于远期合约为场外交易，不受监管机构管制。这也意味着合约双方可以就合约的各项条款进行商讨，所以远期合约的定制化程度更高并且更具灵活性。而期货合约属于场内交易，受监管机构的监管较多，合约双方均与清算所进行交易，并且合约双方不能就合同的各项条款进行商讨，因此期货合约是标准化的合约。
由于远期合约是场外交易，合约双方均面临信用风险，而期货合约由于由清算所做保证，使其没有信用风险。
清算所通过每日盯市结算及保证金这两种制度，有效地降低了期货合约双方所面临的信用风险。
3.期货合约的价值
由于期货合约与远期合约结算方式的不同，导致期货合约的价值具有如下特点。
·期货合约初始价值为零。
·由于期货合约采用每日盯市结算方式，因而期货合约的价值在盯市结算后重新调整为零。
·两个盯市结算日之间，期货合约价值不为零。
·合约对于多头方的价值V（long）=current futures price-futures price at the last mark-to-market time（多头方的价值＝现在的期货价格-上一期盯市结算时的期货价格）。
·我们还可以从另一个角度理解期货合约，即合约双方在盯市结算日结算了上一期货合约后，该份合约就到此终止，合约双方同时再签订一份新的合约，该合约与先前刚被终止的合约必须具有相同的到期日。
由于期货合约在各盯市结算日价值为零，因此实务中不太需要我们对其在合约期间任意时刻进行估值。
李老师说
为了使大家能够更深刻地理解期货合约的盯市结算制度是如何不断地将合约价值重新归零的，接下来我们通过图8-4来说明这一点。
首先我们回顾一下远期合约，如图8-4所示。虽然在合约期间我们会计算远期合约的价值，但是合约双方仅在合约到期时发生实际交割，合约期间合约双方不发生交割。因此合约期间远期合约的价值不为零。
图 8-4
与远期合约不同的是期货合约采用逐日盯市的结算方式，所谓的逐日盯市我们可以理解为在盯市当日，合约双方进行交割结束当前合约。与此同时，交易双方再签订一份与先前合约到期日期相同的期货合约。那么在各盯市结算日，新签订的合约价值就被重新调整为零。
以远期合约多头方为例，在各盯市结算日，多头方通过远期合约的获利（或者损失）为FPt-FPt-1。这也意味着两个盯市结算日之间的期货合约价值不为零。
1.2 远期合约定价与估值的基本原则★
1.2.1 定价
定价（pricing）：合约双方在签订合约时约定的标的物于交割日进行交割的特定价格，即于交割日多头方应该支付给空头方购买标的资产的价格。
合约签订时，远期承诺合约价值为零。如我们在知识点回顾中所述，由于远期承诺签订时，合约双方权利和义务对等，因此，此时合约价值为零，即V0=0。★
无套利定价原则（no-arbitrage principle）：在均衡的金融市场上，一切证券的价格都等于其均衡价格，不存在套利机会。这一用于定价的假设条件被称为无套利原则，在这一原则下制定的定价方法被称为无套利定价法。
·如果两个资产或组合拥有完全相同的未来现金流，那么这两个资产或组合就应该拥有相同的价格。
·如果拥有完全相同未来现金流的资产或组合的价格不同，那么就会产生套利机会。
1.2.2 无套利定价原则
·价格的确定（pricing）：远期合约价格的确定基于无套利定价原则，即在合同初始时（t=0时刻）确定的合约价格使合约价值对于合约双方而言都为零。该价格公式表达如下：
★FP=S0+持有成本-持有利得
式中 FP——合约初始时，即t=0时，约定的合约价格；
S0——t=0时的资产现货价格。
·持有成本（carrying cost）：持有现货时所产生的一系列费用，如持有现货商品所发生的储存成本等。
·持有利得（carrying benefit）：持有现货时所产生的利得，如持有股票、债权所获得的股利、利息收入等。
如何理解上述定义式中持有成本及利得的处理呢？我们通过图8-5来具体体会一下。
图 8-5
持有成本如图8-5及相关知识回顾中所述，与现货交易不同，在远期承诺交易合约签订时点（t=0时刻）至合约到期这段时间（t=T时刻），标的资产仍被合约空头方所持有，待合约到期时，双方才进行交割，此时标的资产转移至多头方持有。所以在合约期间因持有标的资产所发生的成本费用都是由合约空头方负担的。因此在确定合约价格时，空头方会通过增加合约价格的方式将此类持有成本转嫁给多头方。所以在成本价格中，持有成本表现为一个增加项。
持有利得与持有成本相似，在合约期间因持有标的资产而产生利得（如股利等），该利得由空头方获得。因此在计算合约价格时这部分利得需从合约价格中扣除，即减去持有利得。
李老师说
上述表达式是远期合约定价的定义式，我们需要透彻地理解上述公式的原理才能更好地理解之后的学习内容。
·价值（valuation）的确定：在合约期间的某一特定时点（即t=t时刻）确定多头方（或空头方）所持有的远期合约的价值。
为了更好地理解如何用无套利定价模型进行远期承诺定价，我们先来了解两种套利方式：正向套利和反向套利。
1.2.3 正向套利★
正向套利（cash-and-carry arbitrage）：当远期合约价值被高估时，即FP＞S0×（1+Rf）T时，那么投机者就可以采用正向套利模式获利（见表8-3）。
表 8-3
通过如图8-6所示的时间轴，我们能更好地理解正向套利的获利机制。★
图 8-6
在正向套利中，由于FP＞S0×（1+Rf）T，所以在持有合约期间投资者持有标的资产产生的价值大于持有现金的价值。因此投资者需在合约开始（t=0）时：
·以无风险利率Rf借入S0，并购买标的资产。
·卖空该标的资产远期合约。
通过上述交易，在合约到期时，投资者需要：
·按远期承诺合约约定价格对标的资产进行交割，并收到合约价格FP。
·归还持有期间借款本息，合计S0×（1+Rf）T。
综上所述，由于FP＞S0×（1+Rf）T，正向套利投资者借入资金，购买并持有标的资产，并且获得收益FP-S0×（1+Rf）T。
李老师说
正向套利的原理和流程以及正向套利收益金额的计算都是考点。因此，我们一定要在充分理解的基础上对其记忆。上述时间轴图示（见图8-6）可以帮助大家理解并记忆相关内容。
1.2.4 反向套利★
反向套利（reverse cash-and-carry arbitrage，reverse carry arbitrage model）：当远期承诺合约价格被低估时，即FP＜S0×（1+Rf）T，投机者采用反向套利机制可以获利（见表8-4）。
表 8-4
与正向套利相反，反向套利的时间轴如图8-7所示。
图 8-7
在反向套利中，由于FP＜S0×（1+Rf）T，所以在持有合约期间投资者持有现金产生的价值大于持有标的资产的价值。因此投资者需在合约开始（t=0）时：
·卖空标的资产，获得现金S0，并以无风险利率Rf进行投资。
·做多该标的资产远期合约。
通过上述交易，在合约到期时，投资者：
·收到投资收益S0×（1+Rf）T，并支付远期承诺合约空头方合约价格FP，获得远期合约空头方交割的标的资产。
·将标的资产交割给先前卖空交易对手方。
综上所述，由于FP＜S0×（1+Rf）T，反向套利投资者卖空标的资产，多头标的资产的远期承诺合约，并且获得收益S0×（1+Rf）T-FP。
术语解释
卖空：投资人通过证券经纪商借入某种金融标的资产的方式先将其卖出，希望等到标的资产价格跌到一定幅度后再将其买回并交还借出者，投资者通过这一交易方式获利，此类交易便被称为卖空交易。
如果市场存在套利机会，投机者便会不断地利用该类机会进行套利，从而迫使远期合约价格回归合理价格。在此价格下不再存在套利机会：该价格的表达为FP=S0×（1+Rf）T。这就佐证了远期合约价格是基于无套利定价原则确定的。
李老师说
为了方便大家理解记忆，我们通过画出时间轴，并标注现金流的方式帮助大家记忆远期合约价格的确定过程。
首先我们约定：除特殊说明外，本节的远期合约举例均从合约多头方角度（long forward position）出发，图形中向上箭头表示收到的现金流（或者是收到资产价值的现金流），向下箭头表示支出的现金流（或者是支付资产价值的现金流），则远期合约价格如图8-8所示。
·在合约到期的t=T时刻，远期合约多头方需按约定支付空头方FP的价格，并获得价值为ST的标的资产。
·若求在合约签订时远期合约的价格，需将ST和FP分别以无风险利率Rf折现至t=0时刻。
·如前所述，由于远期合约签订时，合约双方权利和义务对等，因此合约签订时，合约价值为0，即V0=0。
·支出方向现金流的现值（向下箭头）为
。虽然收入方向的现金流（向上箭头）无法在t=0时刻得知t=T时刻标的资产的价值，从而无法对其进行折现，但是我们已知t=0时刻该标的资产的现货价格就为S0。
·由此我们得到
，即FP=S0×（1+Rf）T。
图 8-8
如果题目要求合约中某一时点（t=t时刻），合约对于多头方的价值，那么只需将T时刻多头方收取与支付的现金流折现至t时刻并将其与t时刻资产的现货价格作差即可。
李老师说
如果远期合约定价不合理，就会存在套利机会，投机者就通过正向套利与反向套利两种方式进行套利，并迫使远期承诺合约定价趋于合理。该合理价格是基于无套利定价原则制定的，即FP=S0×（1+Rf）T。
在时间轴上，由于在t=0时刻远期合约价值为零，我们对合约到期时收到的现金流（向上箭头）与支出（向下箭头）的现金流进行折现求和（往t=0时刻折现），从而求得t=0时刻的远期承诺合约价格。运用该种方法我们还可以求得在某一时点（t=t时刻）远期合约的价值。
因为远期合约的本质是一个零和博弈，因此合约中一方赚取的盈利必定是另一方的损失，所以远期合约对于空头方的价值的数值就是对于多头方价值的相反数，即
V空头=-V多头
期货合约是一种标准化的远期合约，因此期货合约的定价原则与远期合约相同，并且在远期合约中讲解的各类标的资产价格的计算方法与相同标的资产期货合约价格的计算方法也是类似的，因此以下讲解中，我们对于同类型资产的期货的定价方法不再赘述。
1.3 股票远期/期货合约的定价与估值★★★
我们将根据不同的标的资产类型分别介绍国债及不支付股利股票、支付股利股票、付息债券、利率以及外汇远期合约的定价与估值的方法。下面我们就对这些产品远期合约与期货合约的定价及估值展开讲解。
1.3.1 无股利股票远期合约的定价与估值
在t=0时刻，一份标的资产现价为S0，合约期为T的远期合约价格表示如下：
FP=S0×（1+Rf）T
远期合约多头方在远期合约签订时，合约期间以及合约到期时的估值如表8-5所示。
表 8-5
为了加深大家对时间轴作图法的理解和记忆，并更好地理解表8-5的内容，我们以股票远期合约为例，运用作图法对远期合约的定价和估值方法进行讲解。
·已知t=0时刻合约双方签订了远期股票合约，其约定在t=T时刻多头方以合约价格FP从空头方处买入股票，并且在t=0时，股票现货价格为S0，求远期合约价格FP为多少？通过图8-9，我们再来回顾一下画图法求解的思路。
·在t=T时，远期合约多头方将按合约价格支付给空头方FP（向下箭头表示支付现金流），同时收到价格为ST的股票资产（向上箭头表示收到资产价值的现金流）。
·要求t=0时刻远期合约的价格，需要将发生在期末时刻的支付的现金流以无风险收益率折现至t=0时刻，即
，而ST的现值即为t=0时刻股票的现货价格S0。
·由于远期合约在签订时，合约双方权利义务对等，因此在t=0时刻远期合约价值为零，即V0=0。由此我们可以得出，t=0时刻PVFP=PVST（向上箭头等于向下箭头），即
。
·公式变形即可得出远期合约价格，FP=S0×（1+Rf）T。
图 8-9
通过上述例题，我们求解出了远期合约价格FP，现在我们假设已知t=t时刻股票价格为St，求t=t时刻远期合约的价值Vt为多少。
与上述定价问题求解方法类似，此时我们只需将发生在t=T时刻的现金流和资产价值折现至t=t时刻。我们通过图8-10梳理一下求解思路及过程。
图 8-10
·在t=T时刻时，远期合约多头方将按合约价格支付给空头方FP（向下箭头表示支付的现金流），同时收到价格为ST的股票标的资产（向上箭头表示收到资产价值的现金流）。
·若求t=t时刻远期合约的价格，需要将期末现金流以无风险收益率折现至t=t时刻，即
，而ST的现值即为t=t时刻股票的现货价格St。
·在t=t时刻时，远期合约多头方的价值为
（向上箭头减去向下箭头），即V多头=
。
1.3.2 支付股利股票的远期合约的定价与估值
支付股利股票（dividend paying stock）的远期合约价格与价值计算公式如下。
价格计算公式：FP=（S0-PVD0）×（1+Rf）T
价值计算公式：
式中 PVD0——在t=0时刻，合约期间股息收入现值之和；
PVDt——在t=t时刻，合约期间股息收入现值之和。
我们继续通过作图法，来深刻理解一下上述两个公式（见图8-11和图8-12）。
图 8-11
1.支付股利股票远期合约的价格
我们首先来分析远期合约多头方现金流流出的部分（向下箭头）：在t=T时刻，远期股票合约多头方将按合约价格支付FP给空头方，其中FP在t=0时刻的现值为
。
远期合约多头方现金流入的部分（向上箭头）：与期间无现金流流出的远期合约类似，t=T时刻标的资产价格的现值即为t=0时刻该股票的现货价格S0。
值得注意的是，此处的S0包含了该股票在未来各期所有的现金流，例如t1，t2时刻的股利D1，D2的现值PVD0也都包含在股价S0当中。根据先前的讲解，D1，D2属于持有期的利得，它归合约空头方所有，所以在计算合约价格时，我们应当将该部分持有期的利得从合约价格中扣除。因此远期合约多头方现金流入部分，在t=0时刻的现值应为PVST=S0-PVD0。
在t=0时刻远期合约价值为零，即V0=0。由此我们可以得出，t=0时刻PVFP=PVST（向上箭头等于向下箭头），即
，变形得到FP=（S0-PVD0）×（1+Rf）T。
按照相同的思路，我们来分析一下在t=t时刻支付股利股票远期合约的价值计算方法。
2.支付股利股票远期合约的价值
与合约价格的求解相类似，合约价值的求解原则依然是将未来各期现金流的折现求和，但与合约价格求解不同，这里我们需要着重区分3个不同时间点的价值，分别是t=t′，t=t″以及t=t"'。接下来我们通过图8-12依次讲解。
图 8-12
仍以远期合约多头方为例，先观察其现金流流出的部分（向下箭头）。如图8-12所示，无论是在t′，t″还是t"'时刻，远期股票合约多头方现金流流出部分的现值均可用
进行表达。
再观察远期合约多头方现金流入的部分（向上箭头）。这里我们仍然是将标的资产未来产生的现金流折现到t时刻，其统一表达式可以写为PVST=St-PVDt，但这里我们就需要对不同时间点t′，t″以及t"'下的股利折现进行讨论。
·在t=t′时刻，股票价格St′中包含D1和D2两笔股利，而这两笔期间股利远期合约多头方均无法获得，因此D1和D2的现值都需要从St中扣除，PVDt=PVD1+PVD2。
·在t=t″时刻，因为D1已经被支付，因此股价St″中只包含D2一笔股利，只需将D2的现值从St中扣除，PVDt=PVD2。
·t=t"'时，因为D1和D2两笔股利均已支付，截止合约到期时，该股票不再支付现金股利，因此St"'中也不应该再包含任何股利，所以在t=t"'时刻价值的求解同期间没有现金流股票求解相同，即PVDt=0。
根据以上两步以及合约初期V0=0，我们不难求出各t=t时刻，远期合约多头方价值为
。
李老师说
在上例中，我们之所以强调区分合约发生的时间点是在t′，t″还是在t"'时刻，是由于计算的不同时间点的远期合约价值与分配股利的时间点是紧密相关的。合约价值位于不同时间点会影响远期合约价格的股票分红的笔数的计量。我们需要记住，位于求解合约价值时点往后的股票分红需要纳入考虑（需要从股价中扣减），而求解时点之前的股票分红并不影响远期合约的价值，因此不需要纳入考虑；对于这一点我们需要格外注意。通过画出时间轴，使各现金流的发生时间点及方向一目了然，这有利于我们做出正确的求解。
无论是计算支付股利股票的价格或是价值，我们这里用到的均为复利计算方法，用365天进行去年化。
1.3.3 股票指数远期合约
以上我们讲解的合约均为标的资产为单一股票远期合约的情形，那么对于标的资产为股票指数（包含多只股票）的远期合约的情况，我们又应当如何求解呢？在具体学习股票指数远期合约价格和价值计算之前，我们需要了解一下股票指数的报价方式以及有关连续复利折现的方法。
1.股票指数的报价方式
与单一股票以货币为单位进行报价的方式不同，股票指数的报价则以点位（point）为单位进行报价。我们在求解远期合约价格与价值时需要以货币为单位计量，那么我们就需要将点位转换成以货币为单位。假设标的资产股票指数的远期合约价格为1000点，对应金额为1000000美元。合约到期时，股票指数点位为1100点，那么该指数对应的金额就为
（美元）。
2.连续复利折现
先前我们所讨论的折现方法均为离散型折现法。之所以用离散型折现法是因为单只股票的股利分配是间断不连续的，但如果现在的研究对象是包含了众多股票的股票指数，它所包含的成分股票随时都可能进行股利分配，我们便可以将这种分红形式看作连续分红形式。因此，对该种分红模式下股利进行折现时，我们就需要用到连续复利无风险收益率（continuously compounded risk-free rate）和连续复利股息收益（continuously compounded dividend yield）的概念。
·连续复利无风险收益率：
·连续复利股息收益：
★★δc
股票指数远期合约价格为
股票指数远期合约价值为
式中 
——连续复利形式下的无风险收益率；
Rf——离散无风险收益率；
δc——连续复利股息收益。
我继续通过画时间轴的方法阐述上述公式背后的逻辑意义（见图8-13和图8-14）。
图 8-13
图 8-14
3.股票指数远期合约的定价
·远期合约多头方现金流流出的部分（向下箭头）。
t=T时刻，远期股票合约多头方将按合约价格支付FP给空头方。
·若已知连续复利无风险收益率
，FP在t=0时刻的现值为
。
·若已知离散无风险收益率Rf，PF在t=0时刻的现值为
。
·远期合约多头方现金流入的部分（向上箭头）。
·在t=T时刻，远期股票指数合约多头方将收到价格为ST的股票指数。
·由于合约期间远期合约多头方无法获得股利分红，因此我们需要将合约期间的股票分红从股价中扣除。在离散复利的情况下我们采用减法扣除股利，在连续复利的情况下我们运用除法形式扣去股利，即
。
·在t=0时刻远期合约价值为零，即V0=0。由此我们可以得出，t=0时刻，PVFP=PVST（向上箭头等于向下箭头）。
·如果已知连续复利无风险收益率
，得到
。
·如果已知离散无风险收益率Rf，即
，得到
。
李老师说
对于股票指数远期合约，存在3点需要我们注意：
（1）对于股票指数合约，我们认为合约期间的股票红利分红形式是连续的，考试时无论题目给出的是离散的或是连续的股息收益率，在计算股价时，我们均需根据连续复利折现公式
对股价进行折现。
（2）由于连续无风险收益率
与离散无风险收益率Rf之间存在
的关系，若题目已知离散无风险收益率Rf，那么我们也无须将离散无风险收益率Rf转换为连续无风险收益率
。
（3）通过画图法，我们便不再需要反复地记忆求解公式，我们只需理解公式背后的原理便可以进行求解。
4.股票指数远期合约的估值
与离散形式股利对比，我们可以求出股票指数远期合约多头方t=t时刻的价值为
·若已知连续无风险收益率
。
·若已知离散无风险收益率Rf：
。
【例题】股票指数远期合约的估值
1.根据以下条件计算在无套利情况下，期限为150天的股票指数远期合约的价格。
·当前标准普尔500指数为1200点。
·连续复利无风险收益率为5%。
·连续股息收益率为2%。
解答：题目已知的无风险收益率为连续复利无风险收益率，因此我们应该使用连续复利折现方式进行求解。
（1）t=T时刻，远期股票合约多头方将按合约价格支付FP给空头方。
由于已知连续复利无风险收益率
，FP在t=0时刻的现值为
。
（2）t=T时刻，远期股票合约多头方将收到价格为ST的股票指数。
由于期间远期合约多头方无法获得股利分红，因此需要将合约期间股票分红从价格中扣除。
。
（3）t=0时刻远期合约价值为0即V0=0。由此我们可以得出，在t=0时刻，
，得到
。
2.100天后，该指数点位为1100点。计算该股指远期合约多头方的价值。
解答：100天后，即距离该远期合约到期还有150-100=50（天）。
注意，该问求解所得的价值小于零，说明多头方在t=100天时价值为负，若此时交割，多头方就应当支付空头方109.7。
【例题】
以下哪个参数的上升会导致远期合约价格的下降？（假设标的资产的即期价格不受下列因素的影响。）
A.对未来股票价格的预期
B.无风险收益率
C.股利
解答：C，其中A选项不会对远期合约价格造成影响。B选项无风险收益率上升，远期合约价格上升。
1.3.4 股票期货合约
由于期货市场上存在盯市制度，所以对于期货合约，我们通常不需要对其估值，只要求其在期初t=0时刻的价格即可。因为股票期货合约与股票远期合约求解的定价方法完全一致，所以在此我们便不再赘述，具体方法大家参考股票远期合约中介绍的内容即可。
1.4 远期利率协议的定价与估值★★★
1.4.1 远期利率协议的概念
远期利率协议（forward rate agreement，FRA）是指合约签订双方为了避免未来利率波动的风险，而彼此同意在未来某一期间内，就某一特定金额，订立一个特定的远期利率，而在到期时双方只收（付）当时市场利率与约定的远期利率差额的契约。FRA是关于利率的衍生产品，投资者用其来规避远期利率的波动。FRA的标的资产通常为伦敦银行同业拆借利率（London interbank offering rate，LIBOR）。
术语解释
伦敦银行同业拆借利率：国际银行在美国以外货币市场上的美元贷款利率，它是针对定级信用质量的借款人报出的，最为普遍的期限是1个月、3个月以及6个月，它由设在伦敦的英国银行协会所确定。
欧洲美元（Eurodollar）：在外国银行或美国银行的外国分支机构中以美元标识的存款。
李老师说
这里我们简单地梳理了一下关于LIBOR的相关知识。LIBOR是指欧洲美元的浮动借款利率，我们可以简单地将LIBOR理解为美元的浮动借贷利率。
大家思考一下，一个以LIBOR进行借款的债务人，一定非常担心LIBOR上升，从而增加其借款成本。相反，一个希望获得LIBOR收益率的投资人（债权人），一定非常担心LIBOR下降，从而减少其收益。那么对于这样的债权人及债务人而言，他们都可以通过FRA来对冲利率风险对其造成的损失影响。
·FRA的多头方可以被视作将来有权利或义务以协议约定利率进行资金借入的一方，即借款方（borrower）。因此他是支付固定利率、收到浮动利率的一方（floating receiver）。★
·FRA的空头方可以被视作将来有权利或义务以协议约定利率进行资金借出的一方，即贷款方（lender）。因此他是支付浮动利率、收到固定利率的一方（fixed receiver）。★
李老师说
考试中常出现如何运用FRA头寸对冲（hedge）风险的考题，针对这一类型的题目，我们可以运用“担心某一事情发生，就需签订一份该事件发生能够带来收益补偿的合约即可”的原则来确定FRA的头寸方向。
例如，借款方担心因为利率的上升，会导致其借款成本增加，此时借款方就需要签订一个通过利率上升能够使其获利的FRA。因为FRA的标的资产及报价就是LIBOR，那么当LIBOR上涨时，FRA多头方的价值也随之上升，即LIBOR上升可以使FRA多头方获益。因此，借款方需通过进入FRA的多头头寸来进行风险对冲。相反，如果贷款方担心LIBOR下降，那么他就应当进入FRA空头方以对冲风险，并且在LIBOR下降时获利。
·FRA合约之间并未发生真正的借贷行为，FRA的本质是一种现金交割方式的合约，即用合约双方价值差额进行结算。
·FRA的计算通常采用单利模式。如前所述，运算过程中我们进行去年化处理时需要用360天，而非365天。
1.4.2 FRA的报价★
接下来，我们通过1×4 FRA举例说明，1×4 FRA的形式表明：
图 8-15
·远期合约期限为1个月。
·借款将于4个月后到期。
·借款期限为3个月，合约的标的资产为从合约签订日起，30天后的90天的LIBOR报价。
我们通过时间轴来说明上述3点（见图8-15）。
·1×4 FRA中的“1”和“4”分别代表距离当前时间点1个月和4个月的期限。
·t1代表借款开始时间，t2代表借款结束时间，1×4 FRA即借款将从t=0时刻之后1个月开始，并于t=4个月时结束。
·由此，借款的期限为t=1至t=4这3个月的时间。
·由于借款期限时长为3个月，那么确定的借款利率LIBOR应为90天的LIBOR。
·远期利率协议FRA的期限为t=0至t=1这1个月的时间。
·这样借款结算期限为t=0至t=4，即4个月的时间。
李老师说
1×4 FRA涉及非常关键的两个信息：一是我们需要选择多长时间期限的利率水平对未来现金流进行折现；二是我们实际借款期限决定了在FRA到期后，需要以多长期限的LIBOR作为借款利率。对于这两个概念，我们一定要区分清楚。
考点总结
·FRA的标的资产为欧洲美元的借款利率LIBOR，且LIBOR是以单利形式计算的浮动利率。
·在FRA中多头方有权利和义务以合约约定的利率进行借款，空头方有权利和义务以合约约定的利率水平进行贷款。
·FRA是以现金进行差额结算的合约，因此合约期间并没有实际的借款在多头和空头之间进行转移。
·FRA的报价的含义。
1.4.3 LIBOR
伦敦银行同业拆借利率具有以下特征：
·是基于360天计算的年化利率（单利形式）。
·是以附加利率（an add-on rate）形式表现的利率。
·常作为欧洲美元的浮动借款利率。
·每日由伦敦银行协会进行公布。
1.4.4 FRA的定价
对于FRA的定价，我们依然可以通过画图法求解t=0时刻FRA的价格（仍以合约多头方为例），如图8-16所示。
图 8-16
·根据FRA报价规则，1×4 FRA的合约期限为30天，借款期限为90天（从30天开始，120天结束）。
·FRA现金流流入（向上箭头表示）。
虽然FRA合约并不进行实际本金的转移，但是我们可以将其看作在借款起始日，即t=30时FRA多头方有一笔本金金额为NP的名义本金现金流入。
其在t=0时刻的现值为
。
·FRA现金流流出（向下箭头表示）。
在t=120时刻，多头方需按FRA约定利率水平归还该借款的本息和，即NP×
，其在t=0时刻的现值为
。
·根据V0=0，即
，我们可以求解出FRA价格。
李老师说
这里有以下两点需要特别注意。
（1）FRA的计算，均采用单利计算的模式，因此去年化时使用的天数为360天。
（2）由于FRA多头方的现金流入及流出发生时间点并不相同，如上例，现金流入（NP）发生在t=30时刻，而现金流出，即归还借款本息和，发生在t=120时刻。由此，在进行折现时，我们对这两笔现金流折现时采用了不同的折现率，分别为r30和r120。
1.4.5 FRA的估值
首先我们思考一下，若求t=t时刻FRA多头方的价值，这里的t应小于FRA的期限，我们沿用此前1×4 FRA的例子，即t应该小于30。
我们沿用上例，求在t=10时刻该FRA合约对于多头方的价值，同样采用画图法对FRA在t=t时刻的价值进行求解（见图8-17）。
图 8-17
·在t=10时刻，此时1×4 FRA的FRA合约期限还剩20天，借款期限为90天，借款于110天后到期。
·FRA现金流流入（向上箭头表示）。
虽然FRA合约并不进行实际本金的转移，但是我们可以将其看作在借款起始日，即t=30时FRA多头方有一笔本金金额为NP的名义本金现金流入。
其在t=10时刻的现值为
。
·FRA现金流流出（向下箭头表示）。
在t=120时刻，多头方需按FRA约定利率水平归还该借款的本息和，即NP×
，其在t=10时刻的现值为
。
·我们用合约多头方收到的现金流减去其流出的现金流，即可以得到在t=10时刻，FRA合约对于多头方的价值，即
。
李老师说
我们将FRA价格及价值计算中涉及的利率总结如下。
·FRA合约规定了借款利率水平。
·
用于确定各期现金流折现的折现率。
·FRA中涉及的各期利率均用单利法进行折现。
我们这里计算FRA价格及价值的画图计算法与教材介绍的尽管不同，但殊途同归。我们并不建议大家对教材列举的诸多公式进行记忆，因为这些公式较为复杂，不便于理解及记忆。相反，采用画图法对FRA的价格及价值进行求解更为直观，大家只要理清各现金流流入流出时点，并采用单利进行折现，相关问题便可迎刃而解。
【例题】
计算1×4 FRA的价格。已知30天LIBOR利率为3%，120天LIBOR利率为3.9%。
解答：采用画图法进行求解（见图8-18）。
图 8-18
（1）根据FRA报价规则，1×4 FRA中FRA的期限为30天，借款期限为90天，FRA合约将在120天后进行结算。
（2）FRA现金流流入（向上箭头）。
我们将该合约视为t=30时FRA多头方有一笔本金为NP的名义本金现金流入。采用30天LIBOR进行折现，其在t=0时刻的现值为
。
（3）FRA现金流流出（向下箭头）。
在t=120时，多头方需按FRA约定利率归还该借款本息和，即
，采用120天LIBOR进行折现，其在t=0时刻的现值为
。
（4）根据V0=0，即
.，即FRA=4.2%。
【例题】FRA的计算
某公司进入1×4的FRA以规避未来存款利率下降的风险。假设合约的名义本金为100万英镑，合约初始时的FRA为0.50%，30天后，90天的LIBOR为0.60%，FRA合约结算适用的折现率为0.45%。
要求：
（1）计算存款到期时，该公司实际支付的利息金额。
（2）计算该公司收到的结算金额。
解答：
（1）因为该公司担心银行存款的利率下降，因此进入的是FRA的空头方。空头方是支付浮动利率、收到固定利率的一方，所以在存款到期时，也就是4时刻，该公司应该按照浮动利率支付利息，即
（2）利息的结算有两种方式：一种是先付；另一种是后付。先付指的是在借款开始时，即1时刻进行结算；后付指的是在借款结束时，即4时刻进行结算。对于FRA来说，一般使用先付的形式进行结算，对于互换合约和互换期权来说，一般使用后付的形式进行结算。
前文中也提到过，FRA是使用净额进行结算的，净额取决于30天后90天的LIBOR与期初FRA之间的差。又因为FRA使用的是先付的形式进行结算，所以我们需要将该差额往1时刻（30天时）进行折现来计算结算金额。
该公司是FRA的空头方，收到的是固定利率（0.50%），支付的是浮动利率（0.60%），所以它收到的结算金额为：
负数代表该公司应该向对手方支付249.71英镑，因为该公司是空头方，利率上升对它不利，所以空头方有亏损。
1.5 债券远期/期货合约的定价与估值★★★
1.5.1 短期国债远期合约
短期国债（T-bill）远期合约的定价估值方法与无股利股票远期的定价估值的求解方法完全一致，为了加深印象，我们再次通过画图的方式把这一过程给大家梳理一遍。
1.短期国债远期合约定价
如图8-19所示，已知t=0时刻合约双方签订了远期国债合约，其约定在t=T时刻多头方以合约价格FP从空头方处买入国债，并且在t=0时刻时，国债现货价格为S0，求远期合约价格FP为多少？
·在t=T时刻时，远期合约多头方将按合约价格支付给空头方FP（向下箭头表示支付现金流），同时收到价格为ST的国债标的资产（向上箭头表示收到资产价值的现金流）。
·要求t=0时刻远期合约的价格，需要将发生在期末时刻的支付的现金流以无风险收益率折现至t=0时刻，即
，而ST的现值即为t=0时刻债券的现货价格S0。
·由于远期合约在签订时，合约双方权利义务对等，因此在t=0时刻远期合约价值为零，即V0=0。由此我们可以得出，t=0时刻，
（向上箭头等于向下箭头），即
。
·公式变形即可得出远期合约价格，FP=S0×（1+Rf）T。
图 8-19
2.短期国债远期合约估值
通过上述例题，我们求解出了远期合约价格FP，现在我们假设已知t=t时刻国债价格为St，求t=t时刻短期国债远期合约的价值Vt为多少？
与无股利股票求解方法类似，此时我们只需将发生在t=T时刻的现金流和资产价值折现至t=t时刻即可。我们通过图8-20梳理一下求解思路及过程。
·在t=T时，远期合约多头方将按合约价格支付给空头方FP（向下箭头表示现金流支付），同时收到价格为ST的国债标的资产（向上箭头表示收到资产价值的现金流）。
·若求t=t时刻远期合约的价值，需要将期末现金流以无风险收益率进行折现至t=t时刻，即
，而ST的现值即为t=t时刻债券的现货价格St。
·t=t时刻，远期合约多头方的价值为PVST-PVFP（向上箭头减去向下箭头），即V多头=
。
图 8-20
1.5.2 附息债券的远期合约
附息债券远期合约价格与价值的计算与支付股利股票远期合约的计算方法类似，只是期间现金流由股票分红变成了债券利息，但是与股票不同，债券远期合约不存在标的资产为“债券指数”的情况，因此其计算相对简单。附息债券远期合约的
价格计算公式：FP=（S0-PVC0）×（1+Rf）T
价值计算公式：
式中，PVC0表示t=0时刻，合约期间债券利息收入现值之和。PVCt表示t=t时刻，合约期间债券利息收入现值之和。
继续通过画图法对上述两个公式进行理解（见图8-21和图8-22）。
如图8-21所示，与计算支付股利股票远期合约相同：
·附息债券远期合约多头方现金流流出的部分（向下箭头表示）。
在t=T时刻，远期债券合约多头方将按合约价格支付FP，其在t=0时刻的现值为
。
·远期合约多头方现金流入的部分（向上箭头表示）。
由于合约期间利息收入归空头方所有，因此多头方现金流流入部分，在t=0时刻的现值应为
。
·根据t=0时刻V0=0，我们可以得出，t=0时刻
（向上箭头等于向下箭头），即得到FP=（S0-PVC0）×（1+Rf）T。
如图8-22所示，与计算支付股利股票远期合约价值相同。
·远期合约多头方现金流流出的部分（向下箭头）。
无论是在t′、t″还是t"'时刻，多头方现金流流出部分的现值均可用
进行表达。
·远期合约多头方现金流流入的部分（向上箭头）。
这里仍然是将标的资产未来收到的现金流折现至t时刻，统一可以表达为
PVCt。注意，不同时点债券合约待付利息的笔数也是不同的。
图8-21 附息债券远期合约价格
图8-22 附息债券远期合约价值
·在t=t′时刻，债券价格St′中包含C1和C2两笔债券利息，因此C1和C2的现值均需从St中扣除，即PVCt=PVC1+PVC2。
·在t=t″时刻，St″中只包含C2一笔债券利息，因此只需将C2的现值从St中扣除，即PVCt=PVC2。
·在t=t"'时刻，截止合约到期时，该债券未来不再支付债券利息，因此St"'中未包含任何利息，t=t"'时刻PVCt=0。
·求出在t=t时刻，远期合约多头方价值为
。
【例题】债券远期合约的定价
根据以下条件计算债券远期合约的价格。
·合约期限为90天，期间没有应计利息。
·债券报价为115美元，距离上次付息日的应计利息为0.5美元。
·无风险利率为0.5%，票面利率为6%。
解答：
1.5.3 短期国债期货合约
·短期国债期货合约：以面值为100万美元的90天到期的短期国债为标的资产的远期合约。
·短期国债期货报价方式为
100×（1-年化折现率）
·短期国债期货合约的定价。
·与短期国债远期合约相同，由于短期国债期货合约在合约期间没有现金流流入，其价格为
FP=S0×（1+Rf）T
·当标的资产合约期间不产生期间现金流或储存成本时，上述公式右边表明了该标的资产的购买成本以及投资者在时长为T的期间内持有该标的资产的持有成本。该持有成本通过对资产在持有期进行Rf计息来表示。
李老师说
关于远期国债合约，我们需要注意一下它的报价方式和折现方法。
通常，我们接触到的国债远期合约报价形式如下：
期限90天，面值为100万美元的国债远期合约价格96万美元。
那么数值96是不是说明该远期合约的价格就是96万美元呢？当然不是！
由于国债是零息债券，多为折价发行，所以这里的96代表着票面金额的96%。值得注意的是，这里的并不是说投资者可以以96%的价格购买到期限为90天，面值为100万美元的远期国债合约，因为这里的96%是一个年化的概念。所以我们需要先去年化方可求出债券价格。去年化过程如图8-23所示。
图 8-23
由图8-23，由于远期国债合约的价格是国债面值的96%，即年化折扣率为4%（＝1-96%），根据债券期限90天我们将其去年化
。由此，该远期国债的实际折扣率为1%，即该远期国债的实际交易价格为票面金额的99%，100×99％＝99（万美元）。
在这种标价法下，合约价格最小变动为2500美元
。
此外，折现方法分为复利和单利两种。
复利的折现公式为
，它是我们在求远期国债合约价格时用到的折现方式。应注意的是，去年化使用的天数为365天。
单利的折现公式为
，这里去年化使用的天数为360天。
1.5.4 长期国债期货合约★★★
长期国债期货合约（T-bond futures contracts）是指以面值为100000美元，并且期限为15年以上的附息长期国债为标的资产的期货合约。
长期国债在很多国家以净价的形式进行报价，但在实际交易时，买家通常在净价的基础上还支付了一个应计利息（长期国债一定会有利息），我们把这个实际的支付价格称为全价，即
全价=净价+应计利息
·应计利息（accrued interest）：当债券在两个付息日之间交易时，卖方应当收到的应计未付利息。
·应计利息等于债券票面利率乘以付息日至交割日的时间占付息期间总时长的比例。
·应计利息=票面利率×
。
图 8-24
式中，t为上一个付息日到交割日之间的天数；T为上一个付息日到下一个付息日之间的天数，即付息期间（见图8-24）。
·净价（flat price，或clean price）：协议约定的债券价格，即不包含应计利息的债券价格；它是债券市场上债券报价。
·全价（full price，或dirty price）：买方实际支付给卖方的金额，即包含应计利息的债券价格。全价等于净价与应计利息的和，它是债券买卖双方实际进行交割的价格。
长期国债合约的空头方具有交割选择权（delivery option）。所谓选择权是指合约空头方有权在多种长期国债中选择一种对自身有利的合约用于交割。在合约初始时，每种可用于交割的债券均被赋予一个转换因子（conversion factor，CF），通过该转换因子（乘以转换因子），我们可以求得用于交割的标的资产债券的合理价格。在交割日，由空头方指定的用于交割的债券，通常是最便宜的可交割债券［cheapest-to-deliver（CTD）bond］。★
术语解释
转换因子：该因子被广泛用于芝加哥商品期货交易所长期国债和中期国债结算价格的调整因子。每种可交割的长期国债乘以其对应的转换因子得到其合理价格水平。
最便宜可交割债券：长期国债期货合约的空头方在交割当日根据可供交割的实物债券的价格、转换因子、期货合约报价，确定可供交割的债券中最便宜的债券，并将其用于实务交割。这对于长期国债期货的卖方而言是有利的。
李老师说
长期国债期货合约通常以期限大于等于15年的长期国债作为标的资产。市场上存在的期限大于15年的长期国债通常也不止一种，如期限为15年、20年、25年、30年的长期国债，这些实务中的债券都是可以用于交割的债券。无论标的资产为何种债券，期货合约本身只有一个价格QFP。这是由于长期国债的现货市场和期货市场交易均不活跃，因此对于长期国债期货合约市场报价只有一个。我们用QFP乘以不同标的资产债券对应的转换因子，就能得到每类标的资产的合理价格。
由于在合约到期时空头方有权选择交割成本最低的债券（最便宜可交割债券）进行交割，于是在合约签订时为了将各种期限不同的债券进行统一，合约双方为每种可用于交割的债券赋予一个转换因子，以使各种可用于交割的债券价格在合约签订时能够反映资产本身价值的高低。但是，在合约到期时，由于各种可用于交割债券价格的变动，以及期货合约价格的变动，期初约定转换因子已不太能将各可交割债券的价值调整至其合理水平。所以此时不同标的资产债券就会出现“贵贱”之分，于是空头方便可选择“最便宜”可交割债券进行交割。
长期国债期货的定价，用于具体交割的标的债券的报价为
考虑到应计利息的情况，那么用于交割的标的债券的报价为
最后，经过转换因子的调整，长期国债期货合约的报价为
我们仍然采用画图法对长期国债期货合约（考虑到应计利息的情况下）的定价计算公式进行说明（见图8-25）。
·多头方现金流流出的部分（向下箭头）。
在t=T时刻，多头方将按合约价格支付FP+AIT金额给合约空头方（注意此时的应计利息为期末的应计利息AIT），这一金额在t=0时刻的现值为
。
·多头方现金流流入的部分（向上箭头）。
考虑到应计利息的情况，在t=0时刻ST的现值应为
。注意到，此处的应计利息应为期初的应计利息AI0。
·根据t=0时刻V0=0，我们可以得出，在t=0时刻
（向上箭头等于向下箭头）就得到
，即FP=（S0+AI0）（1+Rf）T-FVC0-AIT或
·注意到这是一个具体标的长期国债本身的报价，如果要得到国债期货的价格，我们还需对其除以转换因子进行调整，因此国债期货的最终报价为
图 8-25
【例题】长期国债期货合约的定价
请根据以下条件计算长期国债期货的价格。
·标的债券还有20年到期，票息为3%，面值为1000元，半年付息一次，报价为1010元
·期货合约在13个月后到期
·假设现在距离上次支付利息的时间已经过去了两个月
·假设市场中的无风险利率为6%
·转换因子为1.2
解答：
（1）下一次的付息时间分别为4个月后和10个月后，因此当合约到期时，距离上次付息日为3个月。
（2）计算AI0和AIT。
（3）画图（见图8-26）。
图 8-26
·多头方现金流流出的部分（向下箭头）。
在t=T时刻，多头方将按合约价格支付（FP+7.5）的金额给合约空头方，这一金额在t=0时刻的现值为
。
·多头方现金流入的部分（向上箭头）。
在考虑了应计利息的情况下，多头方在t=T时刻得到的ST的现值为1010+
，
·根据t=0时刻V0=0，我们可以得出，在t=0时刻PVFP=PVST（向上箭头等于向上箭头），即得到
，求解得FP=1042.75（元）。
·注意这是一个具体标的长期国债本身的报价，如果要得到国债期货的价格，我们还需对其除以转换因子进行调整，因此国债期货的最终报价为
1.6 外汇远期/期货合约的定价与估值★★★
首先需要明确的是，外汇远期协议也同样涉及多头方与空头方，但无论多头或者空头所讨论的合约标的物都是指基础货币（base currency），即分母中的货币。例如6.67CNY/USD，这里的基础货币就是分母上的货币，即美元（USD）。而且在外汇合约中，多头方与空头方都是相对应的，比如美元的多头方就等于人民币的空头方。
1.6.1 外汇远期合约
外汇远期协议的价格是依据我们在经济学中学习的利率平价理论（interest rate parity）所确定的。依据该理论，外汇远期协议价格为
·这里的外汇汇率均以本币/外币（DC/FC）这一形式进行表达。
外汇远期协议的价值为
·如果已知为连续利率表现形式，则
外汇远期协议价格为
外汇远期协议价值为
式中 DC——本国货币；
FC——外国货币；
RDC——本国利率；
RFC——外国利率；
——连续复利形式的本国利率；
——连续复利形式的外国利率。
术语解释
利率平价理论：由两国利率差异决定预期汇率与即期汇率两者关系的理论。投资者为获得较高的收益，会把资金从利率水平较低的国家转向投资利率水平较高的国家，大量资金的流入将使利率较高国家的货币汇率（价格）上升。
1.外汇远期合约价格（离散形式）
我们仍通过画图法，对上述公式进一步理解（见图8-27）。
图 8-27
·外汇远期合约多头方现金流流入（向上箭头表示）。
在t=T时刻，外汇远期合约多头方收到空头方支付的金额为1单位外币，将其以外国利率RFC进行折现至t=0时刻，其现值为
。
·外汇远期合约多头方现金流流出（向下箭头表示）。
在t=T时刻外汇远期合约多头方应按合约价格支付金额为FP的本国货币，将其以本国利率RDC进行折现至t=0时刻，其现值为
。
·折现后的现金流分别以不同币种计量表达，即现金流的流入是以外国货币FC表示的现金流现值，而现金流的流出是以本国货币DC表示的现金流现值。因此我们必须将这两笔现金流的币种进行统一。
根据已知t=0时刻两种货币的汇率为DC/FC=S0，我们可以将以外币FC表示的现金流流入的现值（向上箭头）转换为以本国货币DC表达的现金流，即
。
·根据t=0时刻远期合约价值为零，即V0=0，得到
。
2.外汇远期合约价值（离散形式）
我们依旧运用画图法对相关公式进行理解（见图8-28）。
·外汇远期合约多头方现金流入（向上箭头表示）。
在t=T时刻，外汇远期合约多头方收到空头方支付的金额为1单位外币，将其以外国利率RFC进行折现至t时刻，其现值为
。
·外汇远期合约多头方现金流出（向下箭头表示）。
在t=T时刻外汇远期合约多头方应按合约价格支付金额为FP的本国货币，将其以本国利率RDC进行折现至t时刻，其现值为
。
·将这两笔现金流的币种进行统一。
根据已知在t=t时刻两种货币的汇率为DC/FC=St，我们可以将以外币FC表示的现金流入的现值（向上箭头）转换为以本国货币DC表达的现金流，即
。
·由此得出t=t时刻，
。
图 8-28
为了加深大家对这一问题的理解，我们将连续复利的情况再用画图法进行讲解（见图8-29和图8-30）。
图 8-29
3.外汇远期合约价格（连续）
·外汇远期合约多头方现金流入（向上箭头）。
在t=T时刻，外汇远期合约多头方收到空头方支付的金额为1单位外币，将其以外国连续复利利率RcFC进行折现至零时刻，其现值为
。
·外汇远期合约多头方现金流出（向下箭头）。
在T时刻外汇远期合约多头方应按合约价格支付金额为FP的本国货币，将其以本国连续复利利率
进行折现至0时刻，其现值为
。
·将这两笔现金流的币种进行统一，过程如下：
根据已知零时刻两种货币的汇率为DC/FC=S0，将以外币FC表示的现金流入的现值（向上箭头）转换为以本国货币DC表达的现金流，即
。
·根据t=0时刻远期合约价值为零，即V0=0，得到
。
图 8-30
4.外汇远期合约价值（连续）
·外汇远期合约多头方现金流入（向上箭头）。
在t=T时刻外汇远期合约多头方收到空头方支付的金额为1单位的外币，将其以外国利率
进行折现至t时刻，其现值为
。
·外汇远期合约多头方现金流出（向下箭头）。
在t=T时刻外汇远期合约多头方应按合约价格支付金额为FP的本国货币，将其以本国利率
进行折现至t=t时刻，其现值为
。
·将这两笔现金流的币种进行统一。
根据已知t时刻两种货币的汇率为DC/FC=St，将以外币FC表示的现金流入的现值（向上箭头）转换为以本国货币DC表达的现金流，即
。
·由此得出t=t时刻该合约对于多头方的价值为
。
李老师说
在计算与汇率有关的远期合约时，我们采用的计算方式均为复利形式，因此在处理去年化问题时应采用365天的天数。
【例题】外汇远期合约的定价与估值
已知美国无风险收益率为5%，英国无风险收益率为3%，并且在当前时刻美元兑英镑的外汇汇率为1.3488USD/GBP。求：
（1）美国及英国的连续复利无风险收益率？
（2）计算期限为90天的美元兑英镑远期合约价格？（离散形式）
（3）30天后计算该远期合约多头方价值。假设30天后时即期汇率为1.3266美元（离散形式）。
解答：
（1）根据之前学习过的连续复利与离散复利的关系转换公式Rcf=ln（1+Rf），得到美国连续复利无风险收益率为RcDC=ln（1+5%）=0.0488；英国连续复利无风险收益率为RcFC=ln（1+3%）=0.0296。
（2）依据画图法进行求解（见图8-31）。
图 8-31
1）外汇远期合约多头方现金流入（向上箭头）。
在t=T时刻外汇远期合约多头方收到空头方支付的金额为1单位的外币，将其以外国利率RFC折现至零时刻，其现值为
。
2）外汇远期合约多头方现金流出（向下箭头）。
在t=T时刻外汇远期合约多头方应按合约价格支付金额为FP的本国货币，将其以本国利率RDC折现至零时刻，其现值为
。
3）将这两笔现金流的币种进行统一。
根据已知t=0时刻两种货币的汇率为DC/FC=S0，将以外币FC表示的现金流入的现值（向上箭头）转换为以本国货币DC表达的现金流，即
。
4）根据零时刻远期合约价值为零，即
，得到FP=1.3552。
（3）30天后远期合约多头方价值通过画图法得到（见图8-32）。
1）外汇远期合约多头方现金流入（向上箭头）。
在t=T时刻外汇远期合约多头方收到空头方支付的金额为1单位的外币，将其以外国利率RFC折现至t时刻，其现值为
。
图 8-32
2）外汇远期合约多头方现金流出（向下箭头）。
在t=T时刻外汇远期合约多头方应按合约价格支付金额为FP的本国货币，将其以本国利率RDC进行折现至t时刻，其现值为
。
3）将这两笔现金流的币种进行统一。
根据已知t=t时刻两种货币的汇率为DC/FC=1.3266美元，将以外币FC表示的现金流入的现值（向上箭头）转换为以本国货币DC表达的现金流，即
。
4）由此得出t=30时刻，
。
1.6.2 外汇期货合约
外汇期货合约的定价思路、公式与外汇远期合约完全一致，我们在此不做赘述。因为盯市制度的存在，期货市场通常也无须我们求解合约在t=t时刻的价值。因此关于外汇期货合约的相关内容参考外汇远期合约即可。
1.7 互换合约的定价与估值★★★
1.7.1 互换合约概念
互换合约（swap contract）：交易双方签订的在未来某一时期相互交换某些资产的合约。更准确地说，互换合约是当事人之间签订的在未来某一期间内相互交换一系列他们认为具有相等经济价值的现金流的合约。
互换合约产生的时间较短，但已经成为被金融机构广泛应用的衍生金融工具。
1.7.2 互换合约的种类
较为常见的互换合约有利率互换合约、货币互换合约以及权益互换合约。
·普通利率互换合约（plain vanilla）：一种利率互换合约，具体是指固定利率与浮动利率相交换的合约。在该类互换合约中，我们不再称呼合约双方为多头方和空头方，我们称合约双方分别为固定利率支付方（fixed-rate payer）及浮动利率支付方［floating-rate（variable-rate）payer］。
·互换利率（swap rate）：可以被看作利率互换合约的价格，即合约中规定的固定利率水平。互换利率是使合约在初始时刻合约双方价值为零的利率。合约期间，合约双方的价值通常不再为零，合约一方将获利，而另一方将遭受损失。
·货币互换合约（currency swap）：可以被看作投资人以某一币种发行一只固定或浮动利率债券，并用其发行所得购买另一币种的浮动或固定利率债券的互换合约。
·权益互换合约（equity swap）：可以被看作投资人发行了一只固定或浮动利率债券，并用发行所得购买一只股票或股指的互换合约。
1.7.3 互换合约与债券★
互换合约与债券具有一些相似之处：一份利率互换合约等同于发行固定利率债券的同时又购买了浮动利率债券。
李老师说
如何理解利率互换合约等同于发行固定利率债券的同时购买浮动利率债券这一命题呢？利率互换合约的固定利率支付方每期将根据合约约定支付一个固定利率利息，并收到一个浮动利率利息，假设在合约到期时，合约双方需要互换本金，则合约各期现金流如图8-33所示。
图 8-33
如图8-33所示，固定利率支付方每期支付固定利率利息，收到浮动利率利息，并且合约双方在合约到期时互换本金。那么固定利率支付方收到的浮动利率利息及本金可看作其购买了一只每期付息到期还本的浮动利率债券，而其支付的固定利率利息及本金可看作其发行了一只每期付息、到期还本的固定利率债券。
将互换合约等效为债券方便我们理解互换合约定价及估值背后的重要原理，因此，考生需对这一知识点透彻理解及掌握。
1.7.4 利率互换合约的定价
利率互换合约（interest rate swaps）：针对同一种货币，将其固定利率现金流和浮动利率现金流之间进行交换的合约。在利率互换协议中，合约一方在支付固定利率利息的同时收取浮动利率利息，而合约另一方在支付浮动利率利息的同时收取固定利率利息（支付固定利率并收到浮动利率）。
合约方：衍生金融工具交易中的参与者之一（见图8-34）。
图 8-34
1.利率互换合约产生的原因
利率互换合约产生的原因是比较优势的存在。
比较优势（comparative advantage）可以理解为交易双方在自己的各种借款方式中选择能使生产利益最大化的借贷方式（或绝对劣势最小的借贷方式），从而实现利益最大化。我们通过表8-6和图8-35以债券为例对比较优势进行说明。
表 8-6
图 8-35
现有两家公司，信用评级分别为AAA及BBB，这两家公司均可以以固定利率或浮动利率方式进行融资。由于AAA公司信用评级较BBB公司高，所以该公司在融资成本上较BBB公司具有绝对优势，即AAA公司固定利率融资成本10%及浮动利率融资成本LIBOR+0.3%均低于BBB公司的11.2%及LIBOR+1%。
假设AAA公司以固定利率进行融资，其融资成本较BBB公司节省1.2%（=11.2%-10.00%），若它以浮动利率进行融资，融资成本仅被节省0.7%（=1.00%-0.30%）。由此看出相较于BBB公司，AAA公司若以固定利率进行融资，其融资成本将更具优势，即AAA公司固定利率融资具有比较优势。同理，BBB公司以固定利率进行融资，其融资成本高于AAA公司1.2%，以浮动利率进行融资，融资成本高于AAA公司0.7%。相较于AAA公司，BBB公司以浮动利率进行融资，其融资成本方面的劣势较小，即BBB公司浮动利率融资具有比较优势。
假设两家公司由于特定原因需要以其比较劣势进行融资，即AAA公司需要以浮动利率进行融资，BBB公司需要以固定利率进行融资。若两家公司仍希望通过各自比较优势进行融资，那么就可以通过利率互换实现。其具体操作如下：AAA公司先以固定利率10%，BBB公司以浮动利率LIBOR+1%从银行进行融资，同时双方签订利率互换合约，假定合约规定AAA公司支付BBB公司LIBOR的浮动利率，同时收到BBB公司支付的10%固定利率，BBB公司支付AAA公司10%的固定利率，同时收到AAA公司支付的LIBOR浮动利率。
在这些假设条件下，AAA公司虽然从银行以固定利率10%进行融资，但通过利率互换协议AAA公司实际支付的是浮动利率，并以LIBOR为成本进行融资（10%-10%+LIBOR），这也实现了它的融资要求。BBB公司虽从银行以浮动利率LIBOR+1%进行融资，但通过利率互换协议BBB公司实际支付固定利率，以11%（=LIBOR+1%-LIBOR+10%）为成本进行融资，它同样也实现了其融资要求。
2.利率互换合约的定价
普通利率互换合约（plain vanilla swap）是指将固定利率与浮动利率进行互换的合约。在利率互换协议中，一方支付固定利率的利息同时收取浮动利率的利息，而另一方支付浮动利率利息收取固定利率利息。
普通利率互换合约的价格为约定的固定利率（fixed rate），也叫互换利率（swap rate）。互换利率是使合约初始时价值为零的利率。
由于浮动利率债券初始价值等于其面值，因此我们可以依据合约初始时固定利率债券面值等于浮动利率债券面值这一特点进行求解。我们用字母C代表付息期为n期的固定利率债券的票面利率（假设债券面值为1），那么：
·1=C×B1+C×B2+C×B3+…+C×Bn+1×Bn
由此，可以计算出：
·Bn是使n期现金流现值之和为1的各期折现率，我们称其为折现因子（discount factor）。
·计算所得的固定利率C是合约中两次互换行为间的期间互换利率，因此我们需要将其进行年化，以求得年化的互换利率。
我们还是通过画图法进一步理解普通利率互换合约定价的计算方法（见图8-36）。★
图 8-36
这里我们约定互换合约支付方（payer swap）或互换合约收到方（receiver swap）均针对支付或者收到固定利率的一方而言。这也意味着，互换合约支付方即固定利率支付方，互换合约收到方即固定利率收到方。
首先，有以下3点注意事项需说明。
第一，由于利率互换合约双方所持货币币种相同，利率互换合约在合约初始时，即t=0时刻，合约双方无须交换本金。
第二，在各互换交换日，即t=90，180，270，360时，合约双方以现金净额进行结算；这是由于净额结算可以降低合约双方支付的金额，从而有效降低合约的信用风险。
第三，由于合约初始时，合约双方未进行本金交换，因此合约到期时，双方也无须交换本金。
由图8-38可知，互换支付方在t=90，180，270，360时，分别按照合约固定利率C支付固定利息，同时以浮动利率f1，f2，f3，f4收到浮动利息。
互换中的浮动利率均为节点利率，合约双方在t=0时刻能已知t=90时的浮动利率f1。同理，在t=90时刻合约双方才已知t=180时刻的浮动利率f2；在t=180时刻，合约双方才能知道t=270时的浮动利率f3；在t=270时刻，合约双方才知道t=360时的浮动利率f4。那么我们在求解t=0时利率互换合约的价格时，仅对t=90时刻的浮动利率f1已知，剩余f2，f3，f4均未知。所以我们无法通过对发生在t=90，180，270，360时刻现金流净额进行折现的方法求解t=0时刻利率互换合约的价格，但是如前所述，利率互换合约的支付方可以等效为发行一只固定利率债券的同时，投资一只浮动利率债券；据此，我们便可以通过浮动利率债券的相关特征求解合约价格（见图8-37）。
我们假设互换合约支付方需在合约到期时归还发行固定利率债券本金1，收到浮动利率债券本金1。浮动利率每期票息（coupon rate）是浮动的，在各付息期，票息都会回归市场利率（interest rate），此时，债券的价格也将回归债券的面值1。
·互换支付方收到的现金流（向上箭头表示）。
将t=360时收到的现金流（浮动利率债券利率f4及本金1）以f4为折现率折现至t=270，即
。同理，再将t=270，180，90时刻收到的现金流分别往前一期进行折现，图8-37中的PV3，PV2，PV1。由此求得互换合约支付方在t=0时刻，收到现金流的现值就是1。
图 8-37
·互换支付方支付的现金流（向下箭头表示）。
各时点支付现金流需参照t=0时刻时，第90天、180天、270天、360天的LIBOR，以单利形式进行折现，即L90，L180，L270，L360。我们约定这些折现率均已以折现因子Bn的形式表达。以90天LIBOR为例，其折现因子为B90=11+L90×90360。
由此求得互换合约支付方各期支付现金流在t=0时刻现值为
。
·因为t=0时合约价值为零，即支付现金现值等于收到现金现值得到C×B90+C×B180+C×B270+（1+C）×B360=1。从而求得
·通过上述步骤求解的互换利率C，并不是我们利率互换合约的价格。我们还需要对其进行年化处理以求得利率互换合约的价格，即
。
李老师说
这里需注意区分，实务中的利率互换合约无论合约开始或合约到期，均不需要进行本金交换，这里我们是从计算的角度进行考虑，将互换合约等效为债券，假设其有了本金交换。
【例题】
计算期限为1年的按季付息的单纯利率互换合约价格。LIBOR为R（90天）=2.5%；R（180天）=3%，R（270天）=3.5%，R（360天）=4%（见图8-38）。
图 8-38
解答：
（1）计算折现因子：
B1=1/（1+2.5%×90/360）=0.9938
B2=1/（1+3%×180/360）=0.9852
B3=1/（1+3.5%×270/360）=0.9744
B4=1/（1+4%×360/360）=0.9615
（2）计算期间互换利率C：
C=（1-B4）/（B1+B2+B3+B4）
=（1-0.9615）/（0.9938+0.9852+0.9744+0.9615）
=0.98%
（3）计算年化互换利率：
互换利率=0.98%×360/90=3.92%
1.7.5 利率互换合约的估值
利率互换合约对于固定利率支付方的价值为合约期间固定利率债券价值与浮动利率债券价值的差额（见图8-39）。
图 8-39
值得注意的是，在任意交换结算日，合约就能确定下一个支付日对应的市场利率（浮动利率），因此浮动利率债券的价值始终等于其面值金额。
我们仍然通过画图的方法对利率互换合约价值的计算加以说明（见图8-40）。我们仍沿用讲解利率互换合约定价时的例子，现在要求t=30时互换合约价值。
图 8-40
·计算折现因子。
求t=30时刻互换合约价值，必须将各互换结算日的现金流折现至t=30。所用折现率分别为在t=30时刻已知的60天、150天、240天、330天的LIBOR。对应的折现因子分别为
B60=1/（1+L30（60）×60/360）
B150=1/（1+L30（150）×150/360）
B240=1/（1+L30（240）×240/360）
B330=1/（1+L30（330）×330/360）
·互换合约支付方收到的现金流（向上箭头表示）。
t=90为互换合约交换结算日，浮动利率债券价格回归面值，即为1，并且在t=0时刻，合约双方就已知t=90时互换支付方收到浮动利率利息f90（注意去年化）。我们将在t=90时刻的两笔现金流（本金1以及浮动利息f90）以B60折现至t=30时刻，由此求得互换支付方收到现金流现值P浮动=（1+f90）×B60。
·互换合约支付方支付的现金流（向下箭头表示）。
运用各互换结算时点所对应的折算因子，将互换合约支付方支付的各期现金流折现至t=30时刻。由此求得互换支付方支付现金流在t=0时刻现值为：P固定=C×B60+C×B150+C×B240+（1+C）×B330。
·在t=30时刻，互换合约价值为
V支付方=（1+f90）×B60-［C×B60+C×B150+C×B240+（1+C）×B330］。若V支付方大于0，说明互换合约支付方获利，反之互换合约支付方亏损。
李老师说
互换部分给出的利率数量较多，我们需区分清楚各个利率在求解过程中的不同作用。
1）t=0时刻已知的浮动利率f90，可以帮助我们确定在t=90时刻发生的现金流的大小。因为在t=90时刻，互换合约支付方将收到金额为f90的浮动利率利息（若浮动利率债券面值为1）。
2）在t=30时刻，所已知的60天、150天、240天、330天的LIBOR，是供我们用以求出相应折现因子折现的。
【例题】
计算普通利率互换合约固定利率支付方在t=30时刻的价值。已知该合约中的互换利率为3.92%，名义本金为100万美元。假设t=0时刻，LIBOR为R（90天）=2.5%，且t=30时刻LIBOR为R（60天）=3%，R（150天）=3.5%，R（240天）=4%，R（330天）=4.5%（见图8-41）。
图 8-41
解答：
（1）计算折现因子：
B1=1/（1+3%×60/360）=0.9950
B2=1/（1+3.5%×150/360）=0.9856
B3=1/（1+4%×240/360）=0.9740
B4=1/（1+4.5%×330/360）=0.9604
（2）计算互换合约支付方支付现金流的现值。
利率互换合约支付方每期需支付的票面利息为C=1×3.92％×90/360＝0.98％，则支付方支付的现金流的现值为
P固定=0.98%×（0.9950+0.9856+0.9740+0.9604）+1×0.9604=0.998767
（3）计算互换合约支付方收到现金流的现值。
在t=90时刻利率互换合约支付方式收到的浮动债券利息为f90=1×2.5%×90/360=0.625%，则支付方式收到现金流的现值为
P固定=（1+0.625%）×0.9950=1.001219
（4）计算t=30时刻固定合约对于利率支付方的价值：
V=［P固定-P固定］×面值
=（1.001219-0.998767）×1000000
=2452（美元）
1.7.6 货币互换合约的价值及估值★
1.货币互换合约产生原因
与利率互换产生的原因相同，货币互换（currency swap）产生的根本原因也是寻求比较优势。
例如，一家中国企业存在对美元借款的需求，而一家美国公司存在对人民币借款的需求。如果中国企业直接进行美元融资，美国企业进行人民币融资，则两者的融资成本都相对较高，双方可以通过货币互换来降低各自的融资成本，即如图8-42所示的货币互换合约流程。
·在t=0时刻，中国公司从银行融资，借入人民币；同时美国公司从银行融资借入美元。由于中国公司有美元需求，美国公司有人民币需求，因此双方需在合约初始时互换本金。由于在t=0时刻CNY/USD汇率为S0。假设合约中美元金额为1美元，则中国公司需借入人民币金额为S0元。
·所以，由于合约双方的外币需求，在t=0时刻，中国公司借入本金S0元支付给美国公司，并收到美国公司的等额本金1美元。
·在t=t时刻，合约双方需要进行利息交换。中国公司需要支付美国公司美元借款利息，同时收到美国银行支付的人民币借款利息，并将收到的人民币利息归还给银行。同理，美国公司支付人民币借款利息给中国公司，同时收到美元利息，并还给银行美元利息。
·值得注意的是，由于币种的不同，期间现金流的交割不以净额进行结算。
·在t=T时刻，中国公司支付美元借款本金给美国公司，同时收到美国公司支付的人民币借款本金，并将收到的人民币本金归还给银行。同理，美国公司支付人民币借款本金给中国公司，同时收到中国公司支付的美元借款本金，并将收到的美元本金归还给银行。
·合约结束时，合约双方不以合约结束时的汇率水平结算本金，而是以合约初始时的汇率水平结算本金，也就是说期末交换本金的金额等于期初交换本金的金额。
图 8-42
我们通过画图法将货币互换合约的现金流进行梳理，如图8-43所示。
·t=0时，双方交换本金。中国公司收到本金1美元，同时支付等值人民币本金S0元。
·t=t时，双方交换利息。中国公司收到美国公司支付的人民币借款利息，同时支付给美国公司美元借款利息。
·t=T时，双方交换本金。中国公司需支付美国公司美元本金1美元，同时收到美国公司支付的初始人民币本金S0元。
图 8-43
综上所述，合约双方各自按照其比较优势进行融资（中国公司借入人民币，美国公司借入美元），并通过货币互换合约满足各自外币需求（中国公司的美元需求，美国公司的人民币需求）。注意，货币互换合约的本质并不是为了对冲汇率风险，而是为了满足合约双方对外币融资的需求。
李老师说
我们总结利率互换合约与货币互换合约主要的3点区别，如表8-7所示。
表 8-7
2.货币互换合约的定价
互换合约的定价即确定互换合约的互换利率，即合约中的固定利率的水平。在利率互换合约中，互换的情况是指相同币种下固定利率与浮动利率间的互换，并不会出现相同币种下固定利率与固定利率或浮动利率与浮动利率的互换。然而，由于在货币互换合约中，合约双方有着不同的币种需求，所以这类合约将产生下列4种互换情况（仍以人民币与美元的货币互换合约为例）。
·￥C→＄C：人民币固定利率与美元固定利率互换。由于人民币的借款利率与美元的借款利率相互独立，因此两者互不影响。这种情况下的货币互换合约定价为人民币和美元各自的固定借款利率，即按照人民币、美元各自币种的借款现金流计算各自币种下的互换利率。
·￥C→＄f：人民币固定利率与美元浮动利率互换。由于浮动利率的价格即为结算时点浮动利率的即期利率，因此浮动利率一方无须被定价。那么，这种情况下的货币互换合约的价格即为以人民币计价本金的固定利率水平。
·￥f→＄C：人民币浮动利率与美元固定利率互换。同理，这种情况下货币互换合约的价格为美元的固定利率。
·￥f→＄f：人民币浮动利率与美元浮动利率互换。由于两种货币下的借款均为浮动利率形式，合约双方只需根据结算日即期浮动利率进行结算即可，不涉及价格计算。
图 8-44
3.货币互换合约的估值
如图8-44所示，我们在求解货币互换合约价值在t=30时刻的价值时，必须对各时点现金流折现求和，但是为了统一币种的需要，我们必须用t=30时刻的即期汇率对现金流折现之和的币种加以统一。
接下来，我们通过一道例题来具体讲解关于货币互换合约价值的求解过程。
【例题】★★★
现有美元与人民币的货币互换合约。合约初始时美元与人民币的汇率为0.147美元/人民币元。
假设合约初始时美元的利率情况如下：
·L0（90）=3.5%
·L0（180）=4.0%
·L0（270）=4.5%
·L0（360）=5.0%
若合约初始时人民币的利率情况如下：
·R（90）=5%
·R（180）=5.5%
·R（270）=6.0%
·R（360）=6.5%
要求：
（1）请根据以上条件计算出美元和人民币的互换利率。
（2）假设美元的名义本金为1美元，请计算互换合约中人民币的名义本金。
（3）分别计算人民币和美元每期的固定利息。
（4）60天时，汇率变为0.143美元/人民币，美元利率情况如下：
·L60（30）=0.0375
·L60（120）=0.0425
·L60（210）=0.0475
·L60（300）=0.0525
合约签订60天后，人民币利率如下：
·R60（30）=0.0525
·R60（120）=0.0575
·R60（210）=0.0625
·R60（300）=0.0675
若美国公司进入的是支付人民币固定利率、收到美元固定利率的互换合约，计算此时美元公司合约的价值。
（5）若美国公司进入的是支付人民币固定利率、收到美元浮动利率的互换合约，计算此时美国公司合约的价值。
解答：
（1）求出美元对应的折现因子为
求得美元期间固定利率为
美元固定利率，即美元互换利率为
。
求出人民币对应的折现因子为：
求得人民币期间固定利率为：
人民币固定利率，即人民币互换利率为
。
（2）假设互换合约中美元的名义本金为1美元，那么互换合约中的人民币的名义本金为1/0.147=6.8（元）（根据期初时点利率为0.147美元/人民币）。
（3）每期的美元固定利率利息金额应为
C＄=1×4.89%×90/360=0.0122（美元）
此处的固定利率就是我们先前计算出的美元互换利率4.89%。
每期的人民币固定利率利息金额应为：
C￥=6.8×6.32%×90/360=0.1074（元）
这里使用的固定利率应为先前计算出的人民币互换利率6.32%。
（4）计算美元对应新的折现因子为
计算人民币对应新的折现因子为：
收到的美元固定利息为
支付的人民币固定利息为
用60天后的即期利率将人民币固定利息转为美元=6.8551×0.143=0.9803（美元）。
所以支付人民币固定利率，收到美元固定利率的互换合约价值=-0.9803+1.0059=0.0256（美元）。
（5）如果美国公司收到的是美元浮动利率利息，在t=90时刻收到的浮动定利率利息金额应为f90＄=1×3.5%×90/360=0.00875（美元）。这里所用的浮动利率就是在t=0时刻，90天美元浮动利率L0（90）=3.5%。
根据浮动利率债券的特点及B60（30）折现因子求得在t=60时刻美国公司收到的美元现值为：
所以支付人民币固定利率，收到美元浮动利率的互换合约价值=-0.9803+1.0056=0.0253（美元）。
李老师说
我们在计算货币互换协议的期间价值时，最好在合约期初（交换本金时刻）便根据期初汇率水平确定合约双方需要交换的本金金额，这样通过画图的方法容易一步到位地辨识清楚各类货币在各期应当交换的现金流金额。
1.7.7 权益互换合约的价值及估值
1.权益互换合约的定价
权益互换合约（equity swap）通常被分为以下3种形式。
·合约一方支付固定利率，收到对手方股票收益（equity return）。
·合约一方支付浮动利率，收到对手方股票收益。
·合约一方支付一只股票收益，收到对手方另一只股票收益。
由于只有第一种形式的权益互换合约涉及固定利率，因此我们只需计算第一种权益互换合约的价格。
权益互换合约期间互换利率的计算公式与普通利率互换合约计算公式相同，即
上述公式表明，由于合约初始时债券价值等于其面值，我们可以用票面利率为C的固定利率债券与债券面值相同的股票或股票指数进行互换。
李老师说
1）权益互换合约中的股票收益是指股票在合约期间的总收益（total return）。
2）股票收益有别于利率，投资者无法提前预知其未来的情况，因此股票收益只有在结算日当天才能确定，不能提前确定。
3）与其他互换合约不同，权益互换合约中可能出现一方仅存在支付，却不能获得任何收益的情况。
假设该合约为支付浮动利率收到股票收益的互换合约。在结算日，如果标的股票亏损，那么支付浮动利率的一方不但要按合同约定支付浮动利率，而且要将股票亏损部分一并支付给合约的对手方。
2.权益互换合约的估值
合约期间，我们可以通过计算固定利率或浮动利率，以及股票价值从而求得该互换合约对于合约双方的价值。接下来我们就通过一道例题，讲解一下权益互换合约估值的求解过程。
【例题】
现有权益互换合约，其年化互换利率为3.92%，并且名义本金为1000000美元。标的资产为当前1000点的股票指数。假设30天后该股票指数上涨至1100点，并且LIBOR的即期利率为：R（60天）=3%，R（150天）=3.5%，R（240天）=4%，R（330天）=4.5%（见图8-45）。
图 8-45
计算30天时固定利率支付方合约价值。
解答：
（1）收到现金流（向上箭头表示）。
假设初始股票本金为1美元，在t=30时刻股票指数由1000点上涨至1100点，则t=30，初始本金由1美元增加至
。因此股票指数在t=30时刻的价值即为P指数=
。
股票指数在t=30时刻的价值无法提前知道，只有在t=30时刻才可知道。
（2）支付现金流（向下箭头表示）。
计算30天时折现因子：
B1=1/（1+3%×60/360）=0.9950
B2=1/（1+3.5%×150/360）=0.9856
B3=1/（1+4%×240/360）=0.9740
B4=1/（1+4.5%×330/360）=0.9604
（3）计算固定利率债券价值：
P固定=0.98%×（0.9950+0.9856+0.9740+0.9604）+1×0.9604
=0.998767
（4）计算支付固定利率方权益互换合约价值：
V=［P指数-P固定］×名义本金
=（1.1-0.998767）×1000000
=101233（美元）