2.3 平面机构的自由度_机械设计基础-QQ阅读男生都市网

书名：机械设计基础
作者名：郭润兰主编
本章字数：4814字
更新时间：2021-03-30 08:47:41

2.3 平面机构的自由度

2.3.1 平面机构自由度计算公式

图2.8 平面运动构件的自由度

机构具有确定运动时所必须给定的独立运动的数目称为机构的自由度。由理论力学可知，一个作空间运动而不受任何约束的构件（刚体），在空间自由运动时有六个自由度，即在直角坐标系内沿着三个坐标轴的移动和绕三个坐标轴的转动。一个作平面运动而不受任何约束的构件（刚体），具有三个自由度，如图2.8所示，构件1在与构件2未构成运动副时，具有沿轴x及y的移动和绕与运动平面垂直的轴线转动的三个独立运动，即具有三个自由度。

当两个构件构成运动副时，如图2.9～图2.12所示，构件的某些独立运动受到限制，这种限制称为约束，即运动副对构件的独立运动所加的限制。运动副每引入一个约束，构件就失去一个自由度。图2.9所示构件1与构件2构成转动副，构件1沿轴x及y的移动被约束，使构件1只能相对构件2转动；图2.10中构件1与构件2构成移动副，构件1沿轴y的移动和绕与运动平面垂直的轴线的转动被约束，使构件1只能相对构件2沿轴x移动；图2.11、图2.12中构件1与构件2构成平面高副，构件2沿法线n—n方向的移动被约束，构件2相对构件1沿切线t—t方向移动以及绕与运动平面垂直的轴线转动。由此可见，平面低副（转动副或移动副）将引进两个约束，使两构件只剩下一个相对转动或相对移动的自由度；平面高副引进一个约束，使两构件只剩下相对滚动和相对滑动两个自由度。

图2.9 移动副约束

图2.10 转动副约束

图2.11 凸轮高副

图2.12 齿轮高副

如果一个平面机构中有n个活动构件（机架为参考坐标系），当各构件尚未通过运动副相连接时，共有3n个自由度。若各构件之间共构成PL个低副和PH个高副，则全部运动副所引入的约束数为2PL+PH。机构的自由度数等于活动构件的自由度总数减去运动副引入的约束总数，用F表示，则平面机构的自由度为

由上式可知，机构自由度F取决于活动构件的数目以及运动副的性质和数目。

例2.3 试计算如图2.13所示机构的自由度。

图2.13 铰链四杆机构

解：该机构为铰链四杆机构，共有3个活动构件（n=3），4个低副（转动副，PL=4），没有高副（PH=0），根据式（2-1），机构自由度为

F=3n—2PL—PH=3×3—2×4—0=1

例2.4 试计算如图2.14所示机构的自由度。

图2.14 铰链五杆机构

解：该机构为铰链五杆机构，共有4个活动构件（n=4），5个低副（转动副，PL=5），没有高副（PH=0），根据式（2-1），机构自由度为

F=3n—2PL—PH=3×4—2×5—0=2

2.3.2 计算平面机构自由度时的注意事项

1．复合铰链

图2.15所示机构中，构件2、构件3和构件4三个构件在B处存在两个转动副，由于视图的关系，它们重叠在了一起。实际上两个构件可以构成一个铰链；三个构件可以构成两个重叠的铰链（实际情况如图2.16（a）所示）；四个构件构成三个重叠的铰链（实际情况如图2.16（b）所示）；不难推知，m个构件可以形成m—1个铰链。因此把两个以上的构件形成的转动副称为复合铰链，在计算机构的自由度时不要忽略复合铰链的存在。

图2.15 复合铰链

图2.16 复合铰链

（a）三构件构成两个复合铰链；（b）四构件构成三个复合铰链

例2.5 计算图2.17所示直线机构的自由度。

图2.17 直线机构

解：在此机构中，A、B、C、D四处都是由三个构件组成的复合铰链，它们各具有两个运动副，故n=7，PL=10，PH=0。由式（2-1）可得其自由度为

F=3n—2PL—PH=3×7—2×10—0=1

计算结果与实际情况相符。

2．局部自由度

图2.18（a）所示的凸轮机构中，为了减少高副接触处的磨损，在凸轮和从动件之间安装了圆柱形滚子。滚子绕其自身轴线的自由转动不影响其他构件的运动，这种与机构的其他构件运动无关的自由度，称为局部自由度。在计算机构自由度时，局部自由度应舍弃不计。可以设想将滚子与从动件焊成一体，如图2.18（b）所示，先排除局部自由度，然后进行计算。

图2.18 凸轮机构

例2.6 计算图2.19所示小型压力机的机构自由度。

图2.19 小型压力机机构运动简图

解：由前面分析可知，该机构活动杆件数为8，转动副数为7，移动副数为3，高副为2。但构件4与凸轮6之间以滚子5实现滚动接触，故此处引入了一个局部自由度，应排除（即设想将滚子与构件4焊成一体）。这样n=7，PL=9，PH=2，自由度为

F=3n—2PL—PH=3×7—2×9—2=1

3．虚约束

在运动副所加的约束中，有些约束所起的限制作用是重复的，这种起重复限制作用的约束称为虚约束。如图2.20（a）所示的平行四边形机构中，连杆3作平移运动，其上各点的轨迹均为以AB为半径，圆心在AD线上的圆。若在该机构中再加上一个构件5，使其与构件2、4相互平行，且长度相等，如图2.20（b）所示。由于杆5上点M的轨迹与BC杆上点M的轨迹是相互重合的，因此加上杆5后，并不影响机构的运动，但此时若按式（2-1）计算自由度，则有

F=3n—2PL—PH=3×4—2×6—0=0

图2.20 平行四边形机构

这个结果与实际情况不符，造成这个结果的原因是加入了一个构件5，同时引入了3个自由度，增加了2个转动副，将引入F=3×1—2×2=—1的自由度，则由此多引入一个约束，而实际上此约束对机构的运动起着重复的限制作用，故为虚约束。由此可以看出，在利用式（2-1）计算机构自由度时，应将产生虚约束的构件和运动副去掉，然后再进行计算，则有

F=3n—2PL—PH=3×3—2×4—0=1

机构常见的虚约束有如下几种情况。

（1）对同一移动构件的平行虚约束

两个构件间形成多个移动副，并且导路方向平行，这时只有一个移动副起到约束作用，其他移动副所引入的约束都是虚约束。例如图2.21中，构件4对构件3分别在C处和D处形成约束，而在实际的运动分析中，只考虑其中一处约束就可以了。

图2.21 多个移动副

（2）对同一转动构件的同轴虚约束

两个构件彼此之间在同一轴线上构成多个转动副，这时只有一个转动副对运动起约束作用，其他转动副引入的约束都是虚约束。

如图2.22所示，构件1与2在A、B两端各形成一个转动副，且它们拥有同一轴线，因此其中之一属于虚约束。即从运动学的观点来说，这两个转动副对转动构件2的约束与其中之一起到的作用一样，所以进行自由度计算时只考虑一个转动副。在实际机器中采用这种虚约束，是为了支撑的稳定性和受力的合理性考虑的。

图2.22 多个转动副

（3）两构件组成多个平面高副

两构件组成多个平面高副，且各接触点的公法线重合，如图2.23所示。在接触点B、B′的法线n—n和n′—n′重合，即从运动学的观点来说这两个平面高副起到的作用一样，所以自由度计算时只考虑一个平面高副。如果各接触处的公法线不重合，如图2.24（a）、（b）的情况将提供两个约束相当于两个平面高副。

图2.23 多个高副等宽凸轮

图2.24 法线不重合的两构件组成平面高副

（4）等距运动副的虚约束

在机构的运动中，若处在两构件上的两个点之间的距离始终保持不变，这时引入一个构件将此两点和两个运动副相连，则由此引入的一个约束也是虚约束。

图2.25 等距运动副的虚约束

图2.25所示机构中，和，机构在运行时，E点与F点之间的距离始终保持不变。即无论EF两点是否用构件5连接起来，ADEF四点始终保持平行四边形的几何关系。附加构件5和其两端的转动副E、F将引入F=3×1—2×2=—1的自由度，则多引入一个约束，此约束对机构的运动实际不起约束作用，故为虚约束。在计算自由度时，先把附加构件5和其两端的转动副E、F去掉，再进行自由度计算。

（5）运动轨迹重合的运动副的虚约束

在机构中如果把处在两构件上的两点用另外一个新添加的构件相连，而新添加的这个构件上连接点所形成的运动副的轨迹又与原来构件上的点的轨迹重合，则此时引入的这个构件以及该构件与原来构件上的点相连接所形成的这两个运动副即成为虚约束。引入的一个新构件具有3个自由度，而两个转动副则要限制4个自由度，自由度F=3×1—2×2=—1，综合作用效果相当于引入一个约束，而这个约束即为虚约束。

图2.26（a）所示为机动车轮联动机构的平行四边形机构，其中。这时计算机构的自由度就会得到n=4、PL=6、PH=0，则

F=3n—2PL—PH=3×4—2×6—0=0

计算结果表明机构不能运动，而实际中许多这样的机构是可以运动的，如机动车轮联动机构。其原因就是5杆和EF两个运动副形成了虚约束。在图2.26（a）中由于ABCD构成了一个平行四边形机构，所以2杆上所有的点的轨迹都是圆心在4杆上对应点的圆。而E点轨迹的圆心恰恰是F点，无论5杆是否存在，对E点的轨迹并无干涉，所以5杆对原机构构成虚约束，对机构的运动无影响。

在计算机构自由度时，应将引入的约束构件5和其上的两个转动副拆去后才能得到正确的结果，即n=3、PL=4、PH=0，则F=3n—2PL—PH=3×3—2×4—0=1。当然拆除构件1或构件3，其结论也是一样的。

如果上述机构中不满足的条件（如图2.26（b）所示），即5杆连接的不是E点和E点轨迹的圆心F点，而是连接2杆上的E点和4杆上的其他点（如G点），此时引入的5杆不能满足虚约束的条件，所以计算该机构的自由度可得F=0，表明机构确实不能运动。

图2.26 机动车轮联动机构

（a）平行四边形机构；（b）F=0的运动链

（6）对称构件的虚约束

图2.27所示的轮系中，从运动学的角度分析只要一个行星轮便能满足运动要求，此时机构的自由度为F=3n—2PL—PH=3×3—2×3—2=1。为了受力均衡，采取三个行星轮2、2′和2″对称布置的结构，增加了两个行星轮2′和2″以及两个转动副和4个平面高副，则引入的自由度为F=3n—2PL—PH=3×2—2×2—4=—2，即引入两个约束。两个行星轮2′和2″与行星轮2的运动完全相同，并不影响机构的运动，所以引入的两个约束为虚约束。

图2.27 轮系

机构中的虚约束都是在一些特定几何条件下出现的，如果这些几何条件不能满足，则虚约束就会成为实际有效的约束，从而使机构卡住不能运动。所以，从保证机构运动和便于加工装配等方面考虑，应尽量减少机构的虚约束。但为了改善构件的受力，增加机构的刚度，在实际机械中虚约束又被广泛地应用。在机械设计过程中，是否使用及如何使用虚约束，必须对现代机械装备进行全面的分析后再确定。

2.3.3 机构具有确定运动的条件

机构的自由度是指机构具有确定运动时所必须给定的独立运动参数的数目，即机构中各构件相对于机架所具有的独立运动的个数。

图2.28所示为一铰链四杆机构，机构的自由度为F=1，机构具有确定运动时所必须给定的独立运动参数的数目为1。机构的原动件一般都是用转动副或移动副与机架相连，因此每个原动件只能输入一个独立运动。构件1为原动件，参变量φ1表示构件1的独立运动，每给定一个φ1的数值，从动件2、3便有一个确定的相应位置。由此可见，自由度等于1的机构在具有一个原动件时运动是确定的。

图2.28 铰链四杆机构

图2.29所示的铰链五杆机构，机构的自由度F=2，如果只有构件1为原动件，即只给定原动件1的参变量φ1时，由于构件4的位置不确定，构件2和3可以处在图示的实线位置或双点画线位置，也可处在其他位置，即从动件的运动是不确定的。只有给出两个原动件，使构件1、4都处于给定位置，才能使从动件获得确定运动。若取构件1和4为原动件，φ1和φ4分别表示构件1和4的独立运动，每当给定一组φ1和φ4的数值，从动件2和3便有一个确定的相应位置。由此可见，自由度等于2的机构在具有两个原动件时才有确定的相对运动。