第2章
经典物理学的困境

2.1　牛顿三个运动定律遇到了问题

牛顿（图2.1）的三个运动定律是经典力学的基石，从17世纪开始就统领了人类对整个宏观世界中物体运动的描述。但是，在微观世界领域，牛顿力学遇到了根本意义上的困难。换句话说，牛顿的这些定律在微观领域有时是完全不对的（有时是近似正确的）。在本节中，我们将逐个指出牛顿三个定律的不完善之处（若有更多意见请告知，email地址请见前言）。

2.1.1　对牛顿第一定律的讨论

“一个自由的粒子，它的运动状态会如何？”这个问题的答案在牛顿力学中可能表述为“要么停着不动，要么作匀速直线运动”，这就是牛顿第一定律。但是，既然是自由的粒子，凭什么要停在空间的某一点（停住不是反而显得不那么自由了吗），又凭什么要沿着某个特定的方向作匀速运动（沿某一方向运动又显得有点被迫了，即不那么自由了）。自由的含义似乎意味着应该可以沿着任意的方向作任意状态的运动。看来牛顿力学的这个基础有一些问题。我们来分别讨论和对比一下经典物理学和量子力学对自由粒子运动的解释。

（1）牛顿力学对某一时刻运动状态的描述是基于前一时刻粒子的运动状态的，如果在某前一时刻粒子停着不动，或作匀速直线运动，那么对于一个“自由”的粒子来说，这种运动状态此后将保持下来。或者说，由于是一个“自由”的粒子，那么将没有力可以改变它原来的运动状态，从而将继续保持静止不动或作匀速直线运动。也就是说，粒子会在空间的哪一点，以及会作什么方向和什么速度的运动，完全取决于粒子在这之前的状态（以及受力情况）。事实上，在我们日常生活中还没有碰到过自由粒子的情况，遇到的多半都是总合力为零的例子，因为还不存在不受力的宏观粒子。牛顿力学似乎也还没有被用到完全自由的粒子上，而只用到净力为零的情况。但是不管怎样，至少在牛顿力学中还没有将自由粒子的运动状态描述为：粒子处在空间任意位置的概率是一样的（这是量子力学的描述）。

（2）在量子力学里面，对自由粒子状态的描述是：“对于一个自由粒子，在空间中的任意一点找到该粒子的几率是一样的”。因为既然是自由粒子，那它确实完全有理由出现在任何地方（不是同时出现在任意地方！这一点即便对物理系的学生来讲也是容易混淆的），而且出现在任一地方的机会是一样的。量子力学中，自由的粒子没有理由要停在空间的某一点（这样显得不自由），也没有理由要沿着某个方向作匀速运动（这种运动状态是被迫的），它完全可以出现在空间中的任何一点。但是，值得特别注意的是，一旦捕捉到该粒子，它表现出来的就是一整个粒子，它有明确的质量、电荷和自旋等。这样看来，量子力学的描述能够更好地体现自由粒子中“自由”二字的含义。也可以说，量子力学的哲学基础比牛顿力学的哲学基础更加先进了（这里讨论的只是经典力学和量子力学的哲学基础之一）。理解“对于自由粒子，在空间中的任意一点找到该粒子的几率是一样的”对理解量子力学是极其重要的，它在逻辑理解上其实并没有什么困难。同样地，理解这一点对阅读本书也是很重要的。

在古代的中国对物体的运动早就有了“珠子走盘，灵活自在，实无定法”之说，即试图说明珍珠在圆盘中的滚动“实无定法”。这种说法在“形式上”与牛顿的第一定律有所相悖（即与应该作匀速直线运动相违背）。所以这种说法似乎表明了，我们的祖先很早就已经部分地（哪怕只是部分地）认识到了量子力学的基础，即自由粒子的运动应该“实无定法”。可惜的是没有后来人将这个思想加以归纳、进行数学化以及作物理解释。没有数学化的想法在物理上是没有用处的，因为没有数学化也就没有办法再作进一步的数学演绎，也就无法产生新的结果和推论。类似的事情在中国历史上应该还有很多，我们的祖先很多时候都能够作非常抽象的哲学思考，往往却缺少再进行具体推论的能力（数学化的能力）。笔者觉得，只有基于数学的推演才是最有力和最完整的。

以上讨论了这么多，在物理课本中的表达就是一句话：“自由粒子的波函数是平面波”。一个自由的电子可以处在空间中的任意位置，等价于“平面波的平方＝常数”（严格地写，这里的“平方”应该是模的平方，称为“模方”，但是本书不区分波函数的平方和模方），这个常数就意味着在空间任一位置找到该电子的几率相等（但这并不是说，电子是弥散在整个空间的，实际上，一旦找到该电子，那么找到的就是一整个电子）。最后，为什么说用几率的表达显得比较合理呢？因为自由粒子确实是应该等几率地出现在空间的任意一点上。总而言之，与经典物理学相比，量子力学的描述能够更好地体现自由粒子中“自由”二字的含义。

在一次餐会上，我们不知为何竟然谈到了量子力学的根本问题。于是我问道：“如果完全没有约束（当然是指物理约束，而不是道德约束），一个完全自由的你会怎么样？”一个朋友说：“那我会在空中随意地到处飘！”哇，这位朋友的直觉竟然相当地正确！这刚好比较符合（不严格地）量子力学中一个自由粒子的运动图像。而另一个朋友则说：“那我就回去睡觉，或者坐高铁回家看父母。”“天哪！”这个回答也是如此的奇妙，它刚好比较符合经典力学中一个自由粒子的运动图像，也就是自由的经典粒子要么在某一点上不动（在床上睡觉），要么作匀速直线运动（在高铁上）。总之，前一朋友的回答确实是相当合理的，而后一朋友的回答只是作者的玩笑罢了（经典情况下是合理的）。

2.1.2　对牛顿第二定律的讨论

我们先来看看牛顿力学是如何描述物体的运动的。有人说，力是物体运动的原因，或者说，物体的运动是因为在其运动方向上被施加了力，这种说法带有很大的误解。试想在广阔的北极冰面上，有一个滑动了很长距离的物体（假设摩擦力非常小），这种情况下，物体虽然在运动但是并没有受到净力的作用，即没有在物体运动的方向上（滑动的方向上）被施加力。可见，力不是物体运动的原因。其实，力是物体运动发生改变的原因。对物理系的学生而言，这是很容易理解的：因为牛顿第二定律告诉我们F=ma，F为物体所受的力，a为物体运动的加速度，以及m为物体的质量。这个公式告诉我们，力是引起加速度的原因，而不是引起速度（或运动）的原因。因为加速度来自于速度的变化（速度不变，就没有加速度），可见也可以说，力是物体的运动速度发生变化的原因。力与加速度总是在同一个方向上，但是物体的运动方向可以和力或者加速度的方向相反，汽车的刹车便是一个简单的例子。

以上是经典力学对物体运动定律的描述。那么，在微观世界里的情况又是怎样的呢？前面多次提到，一个自由的（即没有受到约束的）微观粒子的状态被描述成：可以处在空间的任意一点上，而且处在各点的几率一样（即波函数为平面波）。可见，只有对粒子进行“约束”（或散射），从而使其不再是自由粒子，才能改变这个微观粒子的平面波状态。换句话说，如果对粒子进行了某种约束，那么在空间各点找到该粒子的几率就不一样了（粒子的波函数就不再是平面波了），粒子处在有约束的区域的机会就会多一些。由此可以看到，量子力学下的所谓约束大致可以对应于经典力学中的力的地位。力是经典粒子的运动发生改变的原因，而约束则是量子力学粒子的波函数偏离平面波的原因。约束在量子力学中对应于一种被称为“势能函数V”的东西（V<0的情况，称为势阱；V>0对应于一种散射），它是一个数学表达式，将被包含到量子力学最基本的运动方程当中（将在下面的章节中讨论）。

总之，从上面的讨论可以看到，经典力学的应用基本上就是先受力分析，然后求解牛顿第二定律的运动方程；而量子力学的应用基本上是先确定好约束（或者说写出V的函数），然后求解量子力学的基本方程——薛定谔方程，或各种等价形式的量子力学方程。

现在，我们来看看“为什么需要在量子力学中抛弃牛顿第二定律”。也就是说，为什么在量子力学中我们必须抛弃轨道、瞬时速度、瞬时加速度这样的概念？正是这些概念的“不适用”将直接导致我们必须放弃牛顿第二定律。这个问题也是大学生们最喜欢问的问题之一。答案可以从多方面进行说明。这里，我们只简洁地给出两方面的理由。

（1）既然粒子可以是完全自由的，那它确实完全有理由出现在任何地方，而且出现在任一地方的几率是一样的，这就意味着粒子运动轨迹的概念是不合时宜的。如果轨迹的概念是不好的，那自然而然速度的概念就是不对的；而如果速度的概念是不对的，那当然加速度的概念就是不对的了。如果加速度没有了，那牛顿运动方程就无法运用了。由此可见，量子力学的框架应该完全不同于牛顿力学的框架。

（2）对于一个微观粒子（如一个电子）而言，它的轨迹、瞬时速度和瞬时加速度是不可观测的量（不过，系统可以有平均速度和平均加速度等）。这种不可观测的量是应该被抛弃的，这是量子力学的逻辑。也就是说，量子力学是建立在可观测量的基础上的。其实，这是很有道理的，既然根本就不能测量出电子的轨迹、速度和加速度（指瞬时速度和瞬时加速度，下同），说明电子的轨迹、速度和加速度在微观领域里都是不好的物理量，应该抛弃它们。一个重要的例子就是原子中作“轨道”运动的电子，这时电子的位置、轨道、速度以及加速度都是不可测量的，所以在原子物理中，这些概念都被抛弃了。

2.1.3　对牛顿第三定律的讨论

牛顿第三定律的表述为：“作用力和反作用力大小相等，方向相反”。这个定律也是存在问题的，主要是因为它隐含着一种瞬时的相互作用，即相距一定距离的两个粒子之间的力与反作用力是瞬时传递的。但是，按照近代物理的观点，力是通过场以有限的速度传递的，这个传递速度不能大于光速。所以，一个粒子对其他粒子的作用要经过一定的时间才能到达。而在这段时间内，粒子间的距离以及作用力的大小和方向可能都已经发生了变化。这就使得某一瞬间两个粒子之间的“作用力大小相等，方向相反”这样的关系不再成立。在量子力学里，力的概念已不再处于中心地位，牛顿力学在微观世界中也不再适用（绝大多数情况下）。但是，像能量守恒、动量守恒和角动量守恒等这些守恒定律在微观领域或量子力学下都还是正确的，因为守恒定律有着更加普遍、非常深刻的自然根基，即对称性（参见附录B）。