第八节 管网技术经济计算

在本章第三节中已讲到可以用平均经济流速确定管径，由此得到的管径是近似的经济管径。本节介绍利用技术经济计算的方法确定经济管径。

给水管网的优化设计不但要保证供水水量、水压、水质安全性和供水可靠性，还应满足经济性，即使管网建造费用和管理费用之和为最小。

管网技术经济计算是在水源位置、输水管和管网布置、控制点及所需的最小服务水头、节点流量、水泵初步运行方案等确定后，以管网的经济性为目标函数，以管网优化设计中的其他因素为约束条件，建立目标函数和约束条件的数学表达式，从而求出最优解。因为水质安全性不易定量评价；用水量变化和管道损坏会使计算流量与实际流量不符，从而导致供水可靠性评价的难度；再加上二级泵站运行和管网流量分配有多种方案等，这些因素很难用数学式表达，因此管网技术经济计算的约束条件主要为水量和水压的保证性。

综上所述，管网技术经济计算就是在满足各种设计目标的水量、水压的前提下，求出一定设计年限内，使管网建造费用和管理费用之和为最小时的管段直径（称为经济管径）或水头损失（称为经济水头损失）。

城市管网的建造费用包括管线、泵站、管网中的水塔、水池等费用。由于泵站、水塔、水池等费用所占比例较小，可以忽略，故管网的建造费用主要为管线费用，与管道直径、长度、管材及施工费有关。管网的管理费用包括供水所需动力费用、检修及技术管理等费用，后两者的费用可忽略。动力费用由泵站的流量和扬程决定，扬程的大小则取决于管网控制点要求的最小服务水头、输水管和管网的水头损失等。水头损失又与管段长度、管径、流量和管材等有关。因此，当管道长度和管材确定后，管网的建造费用和管理费用仅取决于管径和流量。

给水管网一般按最高日最高时用水量进行技术经济计算，然后根据其他不利的特殊用水情况，适当调整水泵扬程和管径，最终选出可满足各种设计目标的最优方案。

目前，给水管网技术经济计算的一般方法是，首先进行流量分配，然后写出以流量、管径（或水头损失）表达的费用函数式和约束条件表达式，求出最优解。

一、技术经济计算的目标函数和约束条件

（一）目标函数

按年计的管网建造费用与管理费用之和称为管网年费用折算值，它是管网技术经济计算的目标函数，可用式（5-10）表示，即

式中：W为管网年费用折算值，元；C为管网建造费用，元；t为投资偿还期，年；M为每年的管理费用，元；p为以管网造价的百分数计的每年的折旧和大修率；M₁为每年的动力费用，元。

C及M₁的计算方法如下：

式中：c为每米长度管线的建造费用，元/m；a、b和α分别为系数和指数，由管材和当地施工条件而定；l_ij为管段长度，m；D_ij为管径，m；E为电费，分/（kW·h）；Q为输入管网的总流量，L/s；H_p为二级泵站扬程，m；η为泵站效率，一般为0.55～0.85，水泵功率小时η较小；β为供水能量变化系数，中型城市前置水塔的输水管和无水塔的管网取0.1～0.4，前置水塔的管网取0.5～0.75；ρ为水的密度，ρ=1；g为重力加速度，g=9.81m/s²；H₀为水泵静扬程，m；∑h_ij为从管网起点到控制点的任一条管线的总水头损失，m。

若将式（5-59）和式（5-60）代入式（5-10），可得出管网年费用折算值由两部分组成：一部分为按年计的管网建造费用和折旧大修费用；另一部分为年供水动力费用，取决于流量和管网的水头损失。若只取其变量部分，得管网年费用折算值（单位为分）如下：

其中

P=8.76βEρg/η

式中：P为输送1L/s的水达到1m的高度每年所需要的电费，分。

重力供水时，不需要供水动力费用，因此管网年费用折算值为

（二） 约束条件

目标函数W₀的约束条件如下：

（1）满足J-1个节点的连续性方程。

（2）满足 L个环的能量方程。

（3）管段流量q_ij应大于或等于最小允许流速时的流量q_min，并小于或等于最大允许流速时的流量q_max，即q_max≥q_ij≥q_min。

（4）任一节点的自由水压H_c应大于最小服务水头H_a，即H_c≥H_a。

（三） 目标函数的极值问题

式（5-61）的目标函数中，包含两个未知数，即D_ij和h_ij，当管段流量q_ij和管长l_ij一定时，这两者之间存在着如下关系：

式中：k和m、n分别为系数和指数。

因此，W₀可看作是q_ij和D_ij或q_ij和h_ij的函数。若取式（5-63）中的n=2，则W₀可表示为

目标函数W₀是否有极小值，简要分析如下。

式（5-64）的目标函数中包含两个变量q_ij和h_ij，若将h_ij看作是常量，根据一般的α和m值，例如取α=1.6，m=5.33，得出，说明W₀只有极大值，而无极小值。因此，当流量为未知数，即流量未分配时，求不出最小的年费用折算值，得不到经济管径。

若将q_ij看作是常量，则可得出，说明W₀有极小值。也就是说，当管网的流量已经分配，各管段的流量为已知时，可得到最小的年费用折算值，并可求出经济管径或经济水头损失。这就是在管网技术经济计算时首先要进行流量分配的原因。

二、输水管的技术经济计算

根据供水条件不同，输水管有压力输水和重力输水两种输水情况。

（一） 压力输水管的技术经济计算

图5-18为一根从泵站到水塔的压力输水管，由三段管段组成。求出每一管段的最小年费用折算值，就可求出整根输水管的最小年费用折算值。将式（5-63）代入年费用折算值公式（5-61）中，对单根管段求导，并令∂W₀/∂D_ij=0，得

前已述及，当各管段的流量已知时，W₀有极小值，故将式（5-65）整理后，就可得出使年费用折算值为最小的压力输水管的经济管径公式：

其中

式中：f为经济因素，它是一个包含多种经济指标的综合参数。

当输水管全线流量不变时，由式（5-67）得出整根输水管的经济管径公式为

图5-18 压力输水管

经济因素f值应根据当地各项技术经济指标计算。每米长管线建造费用公式c=a+bD^α中的a、b、α值的求法如下。

首先，得到当地敷设每米长各种管径管道的费用，其中包括管材费用、各种配件费用、挖沟敷管费用、试验及消毒等施工费用。然后，将管径和费用的对应关系点绘在普通坐标纸上，将各点连成光滑曲线，并延伸到与纵坐标轴相交，交点处的D=0，则c=a，如图5-19所示。该图中系数a=12。

将c=a+bD^α两边取对数，得lg（c-a）=lgb+αlgD，此为直线方程。将对应的D和c-a值绘在双对数坐标纸上，得一直线，如图5-20所示。直线斜率为α，α=1.7；在直线上相应于D=1时的c-a值为b，b=372。由此得出此地区每米长管道的建造费用公式为

c=12+372D^1.7

每米长管道的建造费用公式也可用最小二乘法计算确定。

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图5-19 求管线建造费用公式中的a值

图5-20 求管线建造费用公式中的b值和α值

【例5-1】 有一压力输水管如图5-18所示。Q=150L/s，q₂=40L/s，q₃=50L/s。p=2.8%，t=5年，β=0.4，E=50分/（kW·h），η=0.7，k=1.743×10^-9，m=5.33，n=2，c=12+372D^1.7。求压力输水管的经济管径。

解：由已知条件得出各管段流量为q_1-2=150L/s，q_2-3=110L/s，q_3-4=60L/s。

根据已知条件计算P值和f值，得

依据式（5-66）计算各管段的经济管径：

选用500mm管径。

D _2-3=(1.58×10^-9×150×110²)^0.14=(2.87×10^-3)^0.14=0.44m

选用450mm管径。

D _3-4=(1.58×10^-9×150×60²)^0.14=(0.853×10^-3)^0.14=0.37m

选用400mm管径。

（二）重力输水管的技术经济计算

重力输水管靠重力输水，不需要供水动力费，年费用折算值应按式（5-62）计算。将式（5-63）代入该式中，得

重力输水管技术经济计算就是在充分利用现有水压H（位置水头），也就是使输水管的总水头损失∑h_ij=H的条件下，求W₀为最小时的水头损失或经济管径。可用拉格朗日条件极值法求解，因此求W₀为最小值的问题转化为求下列函数的最小值：

F(h)= W₀+λ(H-∑h_ij)

式中：λ为拉格朗日系数，在计算过程中确定其数值。

求函数F（h）对各管段水头损失h_ij的偏导数，并令其等于零，最终解得

一般地，同一输水管各管段的α、b、k、m、p、t值相同，故由式（5-70）得出下列关系：

其中

式中：i_ij为输水管各段的水力坡度。

为充分利用现有水压H，应有

由式（5-71）和式（5-72）即可选定各管段的管径，方法参见［例5-2］。

【例5-2】 某重力输水管由1-2和2-3两段组成。l_1-2=600m，q_1-2=150L/s；l_2-3=700m，q_2-3=25L/s。起点至终点可利用的水头为5m。求输水管各段的经济管径。

解：取n=2，m=5.33（钢筋混凝土管），α=1.8，则nα/（α+m）=0.5，代入式（5-71），得，即，代入式（5-72），得

将已知数据代入，得

解得i_1-2=0.0056，则

按照各管段的流量和水力坡度，查钢筋混凝土管的水力计算表，选用的管径和实际水力坡度如下：

D _1-2=400mm, i_1-2=0.005182

D _2-3=250mm, i_2-3=0.001763

输水管总水头损失为∑h=0.005182×600+0.001763×700=4.34m，小于现有可利用的水压H=5m，说明选用的管径是合适的。

在选用管径时，应选用相近而较大的管径，以免控制点的水压不足。但是，为了充分利用现有水压，整条输水管中的个别管段可以选用相近而较小的标准管径。从式（5-71）可以看出，流量较大的管段，其水力坡度可较大，因而可选用相近而较小的标准管径；流量较小的管段，可选用相近而较大的标准管径，目的是使整条输水管的总水头损失尽量接近于可利用的水压H。

三、管网技术经济计算

从经济的角度看，环状管网的造价比树状管网高，但为了保证供水的可靠性，有时必须采用环状管网。对环状管网流量分配的研究结果表明，只有将环状管网转化为树状管网时，才可得到经济性最优的流量分配，也才能得到最小的W₀值。这也就是说，环状管网只有近似的而没有优化的经济流量分配。因此，目前在环状管网计算时应从实际出发，首先进行初始流量分配，然后采用技术经济计算的方法去求经济管径。

（一） 起点水压未给的管网

管网技术经济计算的原理基本上与输水管的技术经济计算相同，但还应满足节点流量平衡条件和能量方程，前者已在流量分配时满足，因此，在求W₀的极小值时，只需考虑能量方程，即符合∑h=0的水力约束条件。

管网技术经济计算时，既可以求经济管径，也可以求经济水头损失。由于求经济水头损失比较简单，故一般先求之，然后根据两者的关系，求出经济管径。

现以图5-21的四环管网为例，进入管网的总流量为Q，控制点为节点9，其水压标高H₉已知。图中已标明各节点流量和各管段流向。

该管网的管段数P=12，节点数J=9，环数L=4。未知的管段流量q_ij和管段水头损失h_ij各为12，共计24个未知数。当管段流量已分配时，只有水头损失12个未知数。

管网起点的水压标高H₁未知，控制点的水压标高H₉已知，两者的关系为

式中：∑h_1-9是指从节点1到控制点9任一管线的水头损失总和。

图5-21 环状管网技术经济计算

各管段的水头损失应根据水流方向采用正值或负值，如果选定的管线为1-2-3-6-9，则

∑h_1-9=h_1-2+h_2-3+h_3-6+h_6-9

式（5-73）可以表示为

H ₁= h_1-2+h_2-3+h_3-6+h_6-9+ H₉

应用拉格朗日未定乘数法，写出新的函数式为

式中：W₀为管网年费用折算值，见式（5-64）；f_Ⅰ、f_Ⅱ等均为已知的约束条件；λ_Ⅰ、λ_Ⅱ等均为拉格朗日未定乘数。

将W₀（其计算式中动力费用中的水头损失恢复用起点水压H₁代替）和式（5-73）及各环的∑h=0代入式（5-74），写出经济水头损失的拉格朗日函数式，即

函数F（h）对H₁和各管段的h _ij求偏导数，并令其等于零，得

共计13个方程。

由式（5-76）、式（5-77）、式（5-79）消去λ_Ⅰ和λ_H，得

式中的管段1-2和管段1-4是与节点1相连的管段。

用同样方法可以消去λ_Ⅱ、λ_Ⅲ、λ_Ⅳ等，得出类似式（5-80）的有关其他节点的方程。

为简化起见，令

将式（5-81）和式（5-82）代入式（5-80）及其他类似的有关节点的方程，得出下列方程组：

式（5-83）中有J-1个独立的方程，每一个方程表示一个节点所连接的管段关系。除了管网起端节点1以外，其他节点方程包括了该节点所连接的全部管段，并且在流向该节点的管段前标以正号，离开该节点的管段前标以负号。这些方程类似于管网水力计算中的节点流量平衡方程，因此式（5-83）称为节点方程。

由J-1个节点方程和L个能量方程，共计P个方程，从理论上可以求出P个管段的水头损失h_ij。但因为式（5-83）为非线性方程，不容易求解，故实际上常采用下面的方法求解h_ij。

将式（5-83）各项除以A，得

设，其中x_ij称为虚流量，用以表示该管段流量占总流量Q的比例，当通过管网的总流量Q=1时，各管段的x_ij在0～1之间。式（5-84）可归纳如下。

管网起点：∑x_ij=1。例如，节点1：x_1-2+x_1-4=1。

其他节点：∑x_ij=0。例如，节点5：x_5-6+x_5-8-x_2-5-x_4-5=0。

由于未知的虚流量数x_ij等于管段数P，并根据上述x_ij与h_ij的关系，可得到各管段的经济水头损失公式：

将式（5-63）中管径D与水头损失h的关系代入式（5-85），即可得到经济管径公式：

将式（5-81）进行变换，则有

得

将式（5-87）代入式（5-86）得

式中：Q为进入管网的总流量；q_ij为管段流量。

式（5-88）即为起点水压未给或需求出二级泵站扬程时的环状管网经济管径计算公式。当该式应用于图5-18所示的压力输水管时，因各管段的x_ij=1，且q_ij≠Q，所以可化为式（5-66）；输水管沿线无流量输出时，因q_ij=Q，则可化为式（5-68）。

由于按照q_i+∑q_ij=0的条件进行流量分配时已得到q_ij，f和Q也是已知值，因此，在根据式（5-85）或式（5-88）求各管段的经济水头损失或经济管径时，只需求出x_ij即可。

由于每环中各管段的水头损失应满足能量方程，且各管段的值相同，因此根据∑h_ij=0和式（5-85），则有

由于各管段的流量q_ij和长度l_ij已知，上述方程即转化为求解虚流量x_ij的方程。

如果与管网水力计算时须满足各节点流量平衡（q_i+∑q_ij=0）和各环水头损失平衡（∑h_ij=0）的条件相对照，可将管网起始节点x_ij=1，其他节点∑x_ij=0的关系视为各节点虚流量平衡条件，而将式（5-89）视为各环内虚水头损失平衡的条件。将称为虚水头损失，用h_φ表示，相应地将称为虚阻力，用S_φ表示，则有

求虚流量x_ij时须先进行虚流量分配。分配时，虚流量的节点编号及虚流量方向与实际流量分配时相同；除起点外，其他节点应符合∑x_ij=0的条件。虚流量分配后，应校核各环的虚水头损失是否满足∑h_φij=0的条件，若不满足，则应参照管网平差方法，求出各环的虚流量的校正流量。环L的虚流量的校正流量可按下式计算：

Δx_L求出后，按照管网平差方法调整各管段的x_ij，并据此求出各管段的h_φij，再次校核各环的虚水头损失是否满足∑h_φij=0，若不满足，则求出新的Δx_L，重复上述步骤，直到满足∑h_φij=0为止。

求得各管段的x_ij值后，代入式（5-85）或式（5-88），即可得该管段的经济水头损失或经济管径。若求得的经济管径不等于标准管径，则应选择规格相近的标准管径。

（二） 起点水压已给的管网

水源位于高地依靠重力供水的管网，或从现有管网接出的扩建管网，都可视为起点水压已给的管网。求经济管径时，可略去供水所需动力费用一项，且须满足各环∑h_ij=0及充分利用现有水压尽量降低管网造价的水力条件。假设图5-21所示为一重力供水管网，起点1和控制点9的水压标高已知，则管网可利用的水压为H=H₁-H₉，以选定的路线1-2-3-6-9为例，应有下列关系：

H=∑h_ij=h_1-2+h_2-3+h_3-6+h_6-9

按照上述条件，根据式（5-75）可写出下列函数式：

式中：ij为管段编号；L为环的编号。

推求经济管径的数学推导过程与起点水压未给的管网相同，最后得出与式（5-88）形式相近的经济管径公式，差别在于两者的经济因素f值不同。起点水压已给的管网的f值的计算方法如下。

根据式（5-85）和式（5-90），可得实际水头损失与虚水头损失之间的关系如下：

代入可利用水压H=∑h_ij中，得

则由此得出起点水压已给时，环状管网的经济因素f值为

将式（5-96）代入式（5-88），即可得到起点水压已给管网的经济管径公式：

式中：∑h_φij为从管网起点到控制点选定的管线上，各管段虚水头损失的总和；总和号内的q_ij、l_ij和x_ij为选定管线上各管段的流量、管长和虚流量。

由上可知，无论是起点水压未给的管网还是起点水压已给的管网，均可用式（5-88）求经济管径，只是两者求经济因素f值的公式不同。前者须计入为管网提供水压所消耗的动力费用而用式（5-67）；后者不计动力费用，只需充分利用现有水压H而用式（5-96）。

起点水压已给的管网，在进行技术经济计算时，也须先进行虚流量分配，然后进行虚流量的管网平差，其平差方法与起点水压未给的管网相同，最终求出各管段的x_ij。之后求出从管网起点到控制点选定的管线上各管段虚水头损失的总和∑h_φij。将∑h_φij、H和各管段的x_ij、q_ij代入式（5-97），即可得到各管段的经济管径。

四、近似优化计算

由于设计流量本身的精确度有限，而且计算所得的经济管径一般不是市售标准管径，选择管径时往往要向标准管径上靠一档或下靠一档，因此，可用近似技术经济计算的方法选择管径，以减少计算工作量。

近似技术经济计算方法仍以式（5-88）为依据，分配虚流量时须满足∑x_ij=0的条件，但不进行虚流量平差。用这种方法计算所得的管径，只是个别管段与精确计算法的结果不同。为进一步简化计算，还可将每一管段视为与管网中其他管段无关的单独工作的管段，即按照每一管段的x_ij=1去进行计算，对于距二级泵站较远的管段，由该方法得出的管径误差较大。

应用界限流量的概念，可求出单独工作管段的经济管径。

由于市售水管的标准管径分档较少，档距较大，例如，管径为100～500mm的给水管，相邻两档管径的档距一般为50mm；管径在500mm以上的水管，相邻两档管径的档距为100mm，因此，每种标准管径不仅有相应的最经济流量，而且有其经济的界限流量范围，在界限流量范围内选用这一管径都是经济的。

确定每种管径界限流量值的条件是相邻两个标准管径的年费用折算值相等。例如，D_n-1、D_n及D_n+1是三个相邻的标准管径，若D_n-1和D_n的年费用折算值相等时所对应的流量为q₁，则q₁为D_n-1的上限流量，又是D_n的下限流量；若D_n和D_n+1的年费用折算值相等时所对应的流量为q₂，则q₂为D_n的上限流量，又是D_n+1的下限流量。因此，D_n的界限流量范围是q₁～q₂，凡是管段流量在q₁和q₂之间的，应选用D_n的管径，否则就不经济。如果管段流量恰好等于q₁（或q₂），则因两种管径的年费用折算值相等，两种管径都可以选用。

各种标准管径的界限流量可用下述方法求出。

将相邻两档标准管径D_n-1和D_n分别代入年费用折算值公式（5-61），取式（5-63）中的n=2，也代入式（5-61），又因Q=q₁，则得

按照相邻两档管径的年费用折算值相等，即W_0n-1=W_0n，且管段长度L相等的条件，得

化简后得D_n-1和D_n两档管径的界限流量q₁：

用同样的方法，可以求出D_n和D_n+1两档管径的界限流量q₂。q₁～q₂即为D_n的界限流量范围。

由于各城市的管网造价、电费、用水规律及所用水头损失公式均有差异，所以各城市的界限流量不同。即使同一城市，随着时间的推移，管网造价和动力费用等也会变化，因此，必须根据当时当地的经济指标和所用水头损失公式，求出f、k、α、m等值，然后代入式（5-101）确定各种标准管径的界限流量。

表5-2为α=1.88、m=5.33、f=1、n=2时求出的界限流量表。

若当地的经济因素f≠1，必须将管段流量化为折算流量q₀后再查表5-2确定管径。折算方法如下。

单独工作的管段（即x_ij=1），当经济因素为f、通过该管段的流量为q_ij时，根据式（5-88），取n=2，得经济管径为

当f=1时，通过管段的流量为q₀时的经济管径为

两种条件下的经济管径应当相等，则可得出单独工作管段的折算流量q₀为

同理，可求出f≠1且x_ij≠1时，管段的折算流量q₀为

因此，当f≠1时，若管段为单独工作，则按式（5-102）计算q₀；若考虑管网中各管段之间的相互关系，即x_ij≠1时，应按式（5-103）计算q₀，并根据q₀值查表5-2确定经济管径。