第2章 Theano基础

第1章我们介绍了NumPy,它是数据计算的基础,更是深度学习框架的基石。但如果直接使用NumPy计算大数据,其性能已成为一个瓶颈。

随着数据爆炸式增长,尤其是图像数据、音频数据等数据的快速增长,迫切需要突破NumPy性能上的瓶颈。需求就是强大动力!通过大家的不懈努力,在很多方面取得可喜进展,如硬件有GPU,软件有Theano、Keras、TensorFlow,算法有卷积神经网络、循环神经网络等。

Theano是Python的一个库,为开源项目,在2008年,由Yoshua Bengio领导的加拿大蒙特利尔理工学院LISA实验室开发。对于解决大量数据的问题,使用Theano可能获得与手工用C实现差不多的性能。另外通过利用GPU,它能获得比CPU上快很多数量级的性能。Theano开发者在2010年公布的测试报告中指出:在CPU上执行程序时,Theano程序性能是NumPy的1.8倍,而在GPU上是NumPy的11倍。这还是2010年的测试结果,近些年无论是Theano还是GPU,性能都有显著提高。

这里我们把Theano作为基础来讲,除了性能方面的跨越外,它还是“符合计算图”的开创者,当前很多优秀的开源工具,如TensorFlow、Keras等,都派生于或借鉴了Theano的底层设计。所以了解Theano的使用,将有助于我们更好地学习TensorFlow、Keras等其他开源工具。

至于Theano是如何实现性能方面的跨越,如何用“符号计算图”来运算等内容,本章都将有所涉猎,但限于篇幅无法深入分析,只做一些基础性的介绍。涵盖的主要内容:

❑ 如何安装Theano。

❑ 符号变量是什么。

❑ 如何设计符号计算图。

❑ 函数的功能。

❑ 共享变量的妙用。

2.1 安装

这里主要介绍Linux+Anaconda+theano环境的安装说明,在CentOS或Ubuntu环境下,建议使用Python的Anaconda发行版,后续版本升级或添加新模块可用Conda工具。当然也可用pip进行安装。但最好使用工具来安装,这样可以避免很多程序依赖的麻烦,而且日后的软件升级维护也很方便。

Theano支持CPU、GPU,如果使用GPU还需要安装其驱动程序如CUDA等,限于篇幅,这里只介绍CPU的(TensorFlow将介绍基于GPU的安装),有关GPU的安装,大家可参考:http://www.deeplearning.net/software/theano/install.html

以下为主要安装步骤:

1.安装anaconda

从anaconda官网(http://www.anaconda.com/download/)下载Linux环境最新的软件包,Python版本建议选择3系列的,2系列后续将不再维护。下载文件为一个sh程序包,如Anaconda3-4.3.1-Linux-x86_64.sh,然后在下载目录下运行如下命令:

        bash Anaconda3-4.3.1-Linux-x86_64.sh

安装过程中按enter或y即可,安装完成后,程序提示是否把anaconda的binary加入到.bashrc配置文件中,加入后运行python、ipython时将自动使用新安装的Python环境。

安装完成后,你可用conda list命令查看已安装的库:

        conda list

安装成功的话,应该能看到numpy、scipy、matplotlib、conda等库。

2.安装theano

利用conda来安装或更新程序:

        conda install theano

3.测试

先启动Python,然后导入theano模块,如果不报错,说明安装成功。

        $ Python
        Python 3.6.0 |Anaconda custom (64-bit)| (default, Dec 232016, 12:22:00)
        [GCC 4.4.720120313 (Red Hat 4.4.7-1)] on linux
        Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
        >>> import theano
        >>>

2.2 符号变量

存储数据需要用到各种变量,那Theano是如何使用变量的呢?Theano用符号变量TensorⅤariable来表示变量,又称为张量(Tensor)。张量是Theano的核心元素(也是TensorFlow的核心元素),是Theano表达式和运算操作的基本单位。张量可以是标量(scalar)、向量(vector)、矩阵(matrix)等的统称。具体来说,标量就是我们通常看到的0阶的张量,如12, a等,而向量和矩阵分别为1阶张量和2阶的张量。

如果通过这些概念,你还不很清楚,没有关系,可以结合以下实例来直观感受一下。

首先定义三个标量:一个代表输入x、一个代表权重w、一个代表偏移量b,然后计算这些标量运算结果z=x*w+b, Theano代码实现如下:

          #导入需要的库或模块
          import theano
          from theano import tensor as T
          #初始化张量
          x=T.scalar(name='input', dtype='float32')
          w=T.scalar(name='weight', dtype='float32')
          b=T.scalar(name='bias', dtype='float32')
          z=w*x+b
          #编译程序
          net_input=theano.function(inputs=[w, x, b], outputs=z)
          #执行程序
          print('net_input: %2f'% net_input(2.0,3.0,0.5))

打印结果:

          net_input: 6.500000

通过以上实例我们不难看出,Theano本身是一个通用的符号计算框架,与非符号架构的框架不同,它先使用tensor variable初始化变量,然后将复杂的符号表达式编译成函数模型,最后运行时传入实际数据进行计算。整个过程涉及三个步骤:定义符号变量,编译代码,执行代码。这节主要介绍第一步如何定义符号变量,其他步骤将在后续小节介绍。

如何定义符号变量?或定义符号变量有哪些方式?在Theano中定义符号变量的方式有三种:使用内置的变量类型、自定义变量类型、转换其他的变量类型。具体如下:

1.使用内置的变量类型创建

目前Theano支持7种内置的变量类型,分别是标量(scalar)、向量(vector)、行(row)、列(col)、矩阵(matrix)、tensor3、tensor4等。其中标量是0阶张量,向量为1阶张量,矩阵为2阶张量等,以下为创建内置变量的实例:

          import theano
          from theano import tensor as T
        x=T.scalar(name='input', dtype='float32')
        data=T.vector(name='data', dtype='float64')

其中,name指定变量名字,dtype指变量的数据类型。

2.自定义变量类型

内置的变量类型只能处理4维及以下的变量,如果需要处理更高维的数据时,可以使用Theano的自定义变量类型,具体通过TensorType方法来实现:

        import theano
        from theano import tensor as T
        mytype=T.TensorType('float64', broadcastable=(), name=None, sparse_grad=False)

其中broadcastable是True或False的布尔类型元组,元组的大小等于变量的维度,如果为True,表示变量在对应维度上的数据可以进行广播,否则数据不能广播。

广播机制(broadcast)是一种重要机制,有了这种机制,就可以方便地对不同维的张量进行运算,否则,就要手工把低维数据变成高维,利用广播机制系统自动复制等方法把低维数据补齐(MumPy也有这种机制)。以下我们通过图2-1所示的一个实例来说明广播机制原理。

图2-1 广播机制

图2-1中矩阵与向量相加的具体代码如下:

        import theano
        import numpy as np
        import theano.tensor as T
        r=T.row()
        r.broadcastable
        # (True, False)
        mtr=T.matrix()
        mtr.broadcastable
        # (False, False)
        f_row=theano.function([r, mtr], [r + mtr])
        R=np.arange(1,3).reshape(1,2)
        print(R)
        #array([[1, 2]])
        M=np.arange(1,7).reshape(3, 2)
        print(M)
        #array([[1, 2],
        #        [3, 4],
        #        [5, 6]])
        f_row(R, M)
        #[array([[ 2.,  4.],
        #          [ 4.,  6.],
        #          [ 6.,  8.]])]

3.将Python类型变量或者NumPy类型变量转化为Theano共享变量

共享变量是Theano实现变量更新的重要机制,后面我们会详细讲解。要创建一个共享变量,只要把一个Python对象或NumPy对象传递给shared函数即可,如下所示:

          import theano
          import numpy as np
          import theano.tensor as T
          data=np.array([[1,2], [3,4]])
          shared_data=theano.shared(data)
          type(shared_data)

2.3 符号计算图模型

符号变量定义后,需要说明这些变量间的运算关系,那如何描述变量间的运算关系呢?Theano实际采用符号计算图模型来实现。首先创建表达式所需的变量,然后通过操作符(op)把这些变量结合在一起,如前文图2-1所示。

Theano处理符号表达式时是通过把符号表达式转换为一个计算图(graph)来处理(TensorFlow也使用了这种方法,等到我们介绍TensorFlow时,大家可对比一下),符号计算图的节点有:variable、type、apply和op。

❑ variable节点:即符号的变量节点,符号变量是符号表达式存放信息的数据结构,可以分为输入符号和输出符号。

❑ type节点:当定义了一种具体的变量类型以及变量的数据类型时,Theano为其指定数据存储的限制条件。

❑ apply节点:把某一种类型的符号操作符应用到具体的符号变量中,与variable不同,apply节点无须由用户指定,一个apply节点包括3个字段:op、inputs、outputs。

❑ op节点:即操作符节点,定义了一种符号变量间的运算,如+、-、sum()、tanh()等。

Theano是将符号表达式的计算表示成计算图。这些计算图是由Apply和 Ⅴariable将节点连接而组成,它们分别与函数的应用和数据相连接。操作由op实例表示,而数据类型由type实例表示。下面这段代码和图2-2说明了这些代码所构建的结构。借助这个图或许有助于你进一步理解如何将这些内容拟合在一起:

          import theano
          import numpy as np
          import theano.tensor as T
          x=T.dmatrix('x')
          y=T.dmatrix('y')
          z=x + y

图2-2 符号计算图

图2-2中箭头表示指向Python对象的引用。中间大的长方形是一个Apply节点,3个圆角矩形(如X)是 Ⅴariable节点,带+号的圆圈是ops,3个圆角小长方形(如matrix)是Types。

在创建 Ⅴariables之后,应用Apply ops得到更多的变量,这些变量仅仅是一个占位符,在function中作为输入。变量指向Apply节点的过程是用来表示函数通过owner域来生成它们。这些Apply节点是通过它们的inputs和outputs域来得到它们的输入和输出变量。

x和y的owner域的指向都是None,这是因为它们不是另一个计算的结果。如果它们中的一个变量是另一个计算的结果,那么owner域将会指向另一个蓝色盒。

2.4 函数

上节我们介绍了如何把一个符号表达式转化为符号计算图,这节我们介绍函数的功能,函数是Theano的一个核心设计模块,它提供一个接口,把函数计算图编译为可调用的函数对象。前面介绍了如何定义自变量x(不需要赋值),这节介绍如何编写函数方程。

1.函数定义的格式

先来看一下函数格式示例:

        theano.function(inputs,  outputs,  mode=None,  updates=None,  givens=None,  no_
    default_updates=False,  accept_inplace=False,  name=None, rebuild_strict=True,  allow_
    input_downcast=None, profile=None, on_unused_input='raise')。

这里参数看起来很多,但一般只用到三个:inputs表示自变量;outputs表示函数的因变量(也就是函数的返回值);还有一个比较常用的是updates参数,它一般用于神经网络共享变量参数更新,通常以字典或元组列表的形式指定。此外,givens是一个字典或元组列表,记为[(var1, var2)],表示在每一次函数调用时,在符号计算图中,把符号变量var1节点替换为var2节点,该参数常用来指定训练数据集的batch大小。

下面我们看一个有多个自变量,同时又有多个因变量的函数定义例子:

        import theano
        x, y =theano.tensor.fscalars('x', 'y')
        z1= x + y
        z2=x*y
        #定义x、y为自变量,z1、z2为函数返回值(因变量)
        f =theano.function([x, y], [z1, z2])
        #返回当x=2, y=3的时候,函数f的因变量z1, z2的值
        print(f(2,3))

打印结果:

        [array(5.0, dtype=float32), array(6.0, dtype=float32)]

在执行theano.function()时,Theano进行了编译优化,得到一个end-to-end的函数,传入数据调用f(2,3)时,执行的是优化后保存在图结构中的模型,而不是我们写的那行z=x+y,尽管二者结果一样。这样的好处是Theano可以对函数f进行优化,提升速度;坏处是不方便开发和调试,由于实际执行的代码不是我们写的代码,所以无法设置断点进行调试,也无法直接观察执行时中间变量的值。

2.自动求导

有了符号计算,自动计算导数就很容易了。tensor.grad()唯一需要做的就是从outputs逆向遍历到输入节点。对于每个op,它都定义了怎么根据输入计算出偏导数。使用链式法则就可以计算出梯度了。利用Theano求导时非常方便,可以直接利用函数theano.grad(),比如求s函数的导数:

以下代码实现当x=3的时候,求s函数的导数:

        import theano
        x =theano.tensor.fscalar('x')#定义一个float类型的变量x
        y= 1 / (1 + theano.tensor.exp(-x))#定义变量y
        dx=theano.grad(y, x)#偏导数函数
        f= theano.function([x], dx)#定义函数f,输入为x,输出为s函数的偏导数
        print(f(3))#计算当x=3的时候,函数y的偏导数

打印结果:

        0.045176658779382706

3.更新共享变量参数

在深度学习中通常需要迭代多次,每次迭代都需要更新参数。Theano如何更新参数呢?在theano.function函数中,有一个非常重要的参数updates。updates是一个包含两个元素的列表或tuple,一般示例为updates=[old_w, new_w],当函数被调用的时候,会用new_w替换old_w,具体看下面这个例子。

        import theano
        w= theano.shared(1)#定义一个共享变量w,其初始值为1
        x=theano.tensor.iscalar('x')
        f=theano.function([x],  w,  updates=[[w,  w+x]])#定义函数自变量为x,因变量为w,当函数执
    行完毕后,更新参数w=w+x
        print(f(3))#函数输出为w
        print(w.get_value())#这个时候可以看到w=w+x为4

打印结果:

1、4

在求梯度下降的时候,经常用到updates这个参数。比如updates=[w, w-α*(dT/dw)],其中dT/dw就是梯度下降时,代价函数对参数w的偏导数,α是学习速率。为便于大家更全面地了解Theano函数的使用方法,下面我们通过一个逻辑回归的完整实例来说明:

        import numpy  as np
        import theano
        import theano.tensor as T
        rng=np.random
        # 我们为了测试,自己生成10个样本,每个样本是3维的向量,然后用于训练
        N=10
        feats=3
        D=(rng.randn(N, feats).astype(np.float32), rng.randint(size=N, low=0, high=2).
    astype(np.float32))
        # 声明自变量x、以及每个样本对应的标签y(训练标签)
        x=T.matrix("x")
        y=T.vector("y")
        #随机初始化参数w、b=0,为共享变量
        w=theano.shared(rng.randn(feats), name="w")
        b=theano.shared(0., name="b")
        #构造代价函数
        p_1=1 / (1 + T.exp(-T.dot(x, w) - b))   # s激活函数
        xent=-y * T.log(p_1) - (1-y) * T.log(1-p_1) # 交叉商代价函数
        cost=xent.mean() + 0.01 * (w ** 2).sum()# 代价函数的平均值+L2正则项以防过拟合,其中
    权重衰减系数为0.01
        gw, gb=T.grad(cost, [w, b])               #对总代价函数求参数的偏导数
        prediction=p_1 > 0.5                       # 大于0.5预测值为1,否则为0.
        train=theano.function(inputs=[x, y], outputs=[prediction, xent], updates=((w, w -
    0.1 * gw), (b, b -0.1 * gb)))#训练所需函数
        predict=theano.function(inputs=[x], outputs=prediction)#测试阶段函数
        #训练
        training_steps=1000
        for i in range(training_steps):
            pred, err=train(D[0], D[1])
            print (err.mean())#查看代价函数下降变化过程

2.5 条件与循环

编写函数需要经常用到条件语句或循环语句,这节我们就简单介绍Theano如何实现条件判断或逻辑循环。

1.条件判断

Theano是一种符号语言,条件判断不能直接使用Python的if语句。在Theano可以用ifelse和switch来表示判定语句。这两个判定语句有何区别呢?

switch对每个输出变量进行操作,ifelse只对一个满足条件的变量操作。比如

对语句:

        switch(cond, ift, iff)

如果满足条件,则switch既执行ift也执行iff。而对语句:

        if cond then ift else iff

ifelse只执行ift或者只执行iff。

下面通过一个示例进一步说明:

        from theano import tensor as T
        from theano.ifelse import ifelse
        import theano, time, numpy
        a, b=T.scalars('a', 'b')
        x, y=T.matrices('x', 'y')
        z_switch=T.switch(T.lt(a, b), T.mean(x), T.mean(y))#lt:a < b?
        z_lazy=ifelse(T.lt(a, b), T.mean(x), T.mean(y))
        #optimizer:optimizer的类型结构(可以简化计算,增加计算的稳定性)
        #linker:决定使用哪种方式进行编译(C/Python)
        f_switch=theano.function([a, b, x, y], z_switch, mode=theano.Mode(linker='vm'))
        f_lazyifelse = theano.function([a,  b,  x,  y],  z_lazy, mode=theano.
    Mode(linker='vm'))
        val1=0.
        val2=1.
        big_mat1=numpy.ones((1000, 100))
        big_mat2=numpy.ones((1000, 100))
        n_times=10
        tic=time.clock()
        for i in range(n_times):
            f_switch(val1, val2, big_mat1, big_mat2)
        print('time spent evaluating both values %f sec' % (time.clock() - tic))
        tic=time.clock()
        for i in range(n_times):
            f_lazyifelse(val1, val2, big_mat1, big_mat2)
        print('time spent evaluating one value %f sec' % (time.clock() - tic))

打印结果:

        time spent evaluating both values 0.005268 sec
        time spent evaluating one value 0.007501 sec


2.循环语句

scan是Theano中构建循环Graph的方法,scan是个灵活复杂的函数,任何用循环、递归或者跟序列有关的计算,都可以用scan完成。其格式如下:

        theano.scan(fn,  sequences=None,  outputs_info=None,  non_sequences=None,  n_
    steps=None,  truncate_gradient=-1,  go_backwards=False,  mode=None,  name=None,
    profile=False, allow_gc=None, strict=False)

参数说明:

❑ fn:一个lambda或者def函数,描述了scan中的一个步骤。除了outputs_info, fn可以返回sequences变量的更新updates。fn的输入变量的顺序为sequences中的变量、outputs_info的变量、non_sequences中的变量。如果使用了taps,则按照taps给fn喂变量。taps的详细介绍会在后面的例子中给出。

❑ sequences:scan进行迭代的变量,scan会在T.arange()生成的list上遍历,例如下面的polynomial例子。

❑ outputs_info:初始化fn的输出变量,和输出的shape一致。如果初始化值设为None,表示这个变量不需要初始值。

❑ non_sequences:fn函数用到的其他变量,迭代过程中不可改变(unchange)。

❑ n_steps:fn的迭代次数。

下面通过一个例子解释scan函数的具体使用方法。

代码实现思路是:先定义函数one_step,即scan里的fn,其任务就是计算多项式的一项,scan函数返回的result里会保存多项式每一项的值,然后我们对result求和,就得到了多项式的值。

        import theano
        import theano.tensor as T
        import numpy as np
        # 定义单步的函数,实现a*x^n
        # 输入参数的顺序要与下面scan的输入参数对应
        def one_step(coef, power, x):
            return coef * x ** power
        coefs=T.ivector()  # 每步变化的值,系数组成的向量
        powers=T.ivector() # 每步变化的值,指数组成的向量
        x=T.iscalar()       # 每步不变的值,自变量
        # seq, out_info, non_seq与one_step函数的参数顺序一一对应
        # 返回的result是每一项的符号表达式组成的list
        result, updates=theano.scan(fn=one_step,
                                sequences=[coefs, powers],
                                outputs_info=None,
                                non_sequences=x)
        # 每一项的值与输入的函数关系
        f_poly=theano.function([x, coefs, powers], result, allow_input_downcast=True)
        coef_val=np.array([2,3,4,6,5])
        power_val=np.array([0,1,2,3,4])
        x_val=10
        print("多项式各项的值: ", f_poly(x_val, coef_val, power_val))
        #scan返回的result是每一项的值,并没有求和,如果我们只想要多项式的值,可以把f_poly写成这样:
        # 多项式每一项的和与输入的函数关系
        f_poly = theano.function([x,  coefs,  powers],  result.sum(),  allow_input_
    downcast=True)
        print("多项式和的值:", f_poly(x_val, coef_val, power_val))

打印结果:

        多项式各项的值:  [ 2   30   400  600050000]
        多项式和的值: 56432

2.6 共享变量

共享变量(shared variable)是实现机器学习算法参数更新的重要机制。shared函数会返回共享变量。这种变量的值在多个函数可直接共享。可以用符号变量的地方都可以用共享变量。但不同的是,共享变量有一个内部状态的值,这个值可以被多个函数共享。它可以存储在显存中,利用GPU提高性能。我们可以使用get_value和set_value方法来读取或者修改共享变量的值,使用共享变量实现累加操作。

        import theano
        import theano.tensor as T
        from theano import shared
        import numpy as np
        #定义一个共享变量,并初始化为0
        state=shared(0)
        inc=T.iscalar('inc')
        accumulator=theano.function([inc], state, updates=[(state, state+inc)])
        # 打印state的初始值
        print(state.get_value())
        accumulator(1) # 进行一次函数调用
        # 函数返回后,state的值发生了变化
        print(state.get_value())

这里state是一个共享变量,初始化为0,每次调用accumulator(), state都会加上inc。共享变量可以像普通张量一样用于符号表达式,另外,它还有自己的值,可以直接用.get_value()和.set_value()方法来访问和修改。

上述代码引入了函数中的updates参数。updates参数是一个list,其中每个元素是一个元组(tuple),这个tuple的第一个元素是一个共享变量,第二个元素是一个新的表达式。updatas中的共享变量会在函数返回后更新自己的值。updates的作用在于执行效率,updates多数时候可以用原地(in-place)算法快速实现,在GPU上,Theano可以更好地控制何时何地给共享变量分配空间,带来性能提升。最常见的神经网络权值更新,一般会用update实现。

2.7 小结

Theano基于NumPy,但性能方面又高于NumPy。因Theano采用了张量(Tensor)这个核心元素,在计算方面采用符号计算模型,而且采用共享变量、自动求导、利用GPU等适合于大数据、深度学习的方法,其他很多开发项目也深受这些技术和框架影响。本章主要为后续介绍TensorFlow做个铺垫。