题型四 工程问题

赋值工作总量

★（2012·联考上·65）一项工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天。甲、乙、丙三人共同完成该工程需（　　）。

A．10天

B．12天

C．8天

D．9天

【答案】A

【解析】本题考查工程问题。假设工作总量为90，那么甲的效率=3，乙的效率+丙的效率=6，所以三人合作所需时间为90÷（3+6）=10（天）。因此答案选择A。

【小杨点睛】题目只给出各工作主体的工作时间时，赋值工作总量。

★☆（2013·浙江A·60）一口水井，在不渗水的情况下，甲抽水机用4小时可将水抽完，乙抽水机用6小时可将水抽完。现用甲、乙两台抽水机同时抽水，但由于渗水，结果用了3小时才将水抽完。问在渗水的情况下，用乙抽水机单独抽，需几小时抽完？（　　）

A．12小时

B．13小时

C．14小时

D．15小时

【答案】A

【解析】设工作总量为12，则甲的效率为，乙的效率为，渗水时同时抽水的效率为，则渗水的效率是3+2-4=1，那么在渗水的情况下，乙单独工作需要（小时）。故选择A。

【小杨点睛】赋值工作总量的目的是求出工作效率，从而便于通过加减计算求得合作效率。

★☆（2014·河南·41）A、B、C、D四个工程队修建一条马路，A、B合作可用8天完成，A、C或B、D合作可用7天完成，问C、D合作能比A、B合作提前多少天完成？（　　）

A．

B．

C．

D．2

【答案】A

【解析】赋值工作总量为56，那么A、B的工作效率和为7，A、C的工作效率和为8，B、D的工作效率和为8；那么A、B、C、D的工作效率和为16，所以C、D的工作效率和为9。C、D合作完成工程所需时间为天。C、D合作能比A、B合作提前（天）完成。故选A。

★★（2013·江苏A·26）一项工程，甲、乙合作12天完成，乙、丙合作9天完成，丙、丁合作12天完成。如果甲、丁合作，则完成这项工程需要的天数是（　　）。

A．16

B．18

C．24

D．26

【答案】B

【解析】设该项工程的总量是36，那么对于甲、乙、丙、丁的效率而言有：

。①+③-②得甲+丁=2，那么甲、丁合作完成这项工程需要36÷2=18（天）。故答案为B。

【小杨点睛】近几年的工程问题中通过赋值工作总量计算效率的题目难度有所增加，但仍属于必得分题型。

★★（2013·北京·79）一项工程如果交给甲、乙两队共同施工，8天能完成；如果交给甲、丙两队共同施工，10天能完成；如果交给甲、丁两队共同施工，15天能完成；如果交给乙、丙、丁三队共同施工，6天就可以完成。如果甲队独立施工，需要多少天完成？（　　）

A．16

B．20

C．24

D．28

【答案】C

【解析】8、10、15和6的最小公倍数为120，故假定这项工程的工作总量为120，则甲、乙效率之和是15，甲、丙效率之和是12，甲、丁效率之和是8，从而可知“3甲+乙、丙、丁效率之和”是15+12+8=35。又乙、丙、丁效率之和是120÷6=20，可得3甲=35-20=15，故甲队每天的工作量为5。则若甲队独立施工，需要（天）完成。故选C。

★★（2015·广东·35）有两箱数量相同的文件需要整理。小张单独整理好一箱文件要用4.5小时，小钱要用9小时，小周要用3小时。小周和小张一起整理第一箱文件，小钱同时开始整理第二箱文件。一段时间后，小周又转去和小钱一起整理第二箱文件，最后两箱文件同时整理完毕。则小周和小张、小钱一起整理文件的时间分别是（　　）。

A．1小时，2小时

B．1.5小时，1.5小时

C．2小时，1小时

D．1.2小时，1.8小时

【答案】A

【解析】设每一箱的工作量为9，则小张的效率为2，小钱的效率为1，小周的效率为3。因为两箱总的工作量为18，三个人总的工作效率为2+1+3=6，同时开始同时完毕，所以总的耗时是18÷6=3（小时）。在3小时中，小张做的工作量为6，所以第一箱剩下的工作量3是小周完成的，耗时为3÷3=1（小时），即小周和小张一起整理的时间是1小时；而小周总的工作时间是3小时，所以小周与小钱一起整理的时间是3-1=2（小时）。故正确答案为A。

【小杨点睛】事实上用比例法求解更直接：三人一直在工作，一起开始又一起完成，所以小张与小钱的工作量之比就是效率之比，也就是各自单独整理所需时间的反比，即9∶4.5=2∶1，同样的两箱，那么剩余的工作量之比是1∶2，都是小周完成的，所以小周用时之比也是1∶2。

★☆（2009·国家·11）一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成。如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再由甲接替乙挖1天……两人如此交替工作，挖完这条隧道共用多少天？（　　）

A．14

B．16

C．15

D．13

【答案】A

【解析】设总工作量为20，则甲的效率为1，乙的效率为2。合作的效率为3，则6个周期（12天）后完成工作量3×6=18，剩余工作量2，由于第13天是甲挖，其工作效率为1，故第13天不能挖完，需再挖一天，即共用14天。

【小杨点睛】交替合作型题目，需要重点注意工作总量除以工作效率的余数。

★★（2014·联考上·69）工厂需要加工一批零件，甲单独工作需要96个小时完成，乙需要90个小时，丙需要80个小时。现在按照第一天甲、乙合作，第二天甲、丙合作，第三天乙、丙合作的顺序轮班工作，每天工作8小时，当全部零件加工完成时，甲工作了多少小时？（　　）

A．16

B．

C．

D．32

【答案】D

【解析】此题为给定时间型的工程问题。设工作总量为96、90、80的最小公倍数，即1440。由此可知甲、乙、丙的效率分别为15、16、18。那么甲、乙一天完成的工作量为（15+16）×8=248，甲、丙一天完成的工作量为（15+18）×8=264，乙、丙一天完成的工作量为（16+18）×8=272。每3天为一个周期，一个周期可以完成工作量248+264+272=784，则经过一个周期还剩下656的工作量未完成，需要甲、乙做一天（完成248），甲、丙做一天（完成264），剩下的（144）由乙、丙做。在整个过程中，甲做了4天，即32小时。故正确答案为D。

★★（2010·联考上·94）单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间？（　　）

A．13小时40分钟

B．13小时45分钟

C．13小时50分钟

D．14小时

【答案】B

【解析】设工作总量为48，由题意可知，甲的工作效率为3，乙的工作效率为4，甲、乙轮流工作的时间为……5，此时工作了12小时后甲又工作了1小时，剩余工作量为48-7×6-3=3，因此，乙还需工作（小时），即45分钟。因此，完成这项工作需要13小时45分钟。正确答案为B。

★★☆（2012·国家·77）某项工程由A、B、C三个工程队负责施工，它们将工程总量等额分成了三份同时开始施工。当A队完成了自己任务的90%时，B队完成了自己任务的一半，C队完成了B队已完成任务量的80%，此时A队派出的人力加入C队工作。问A队和C队都完成任务时，B队完成了其自身任务的（　　）。

A．80%

B．90%

C．60%

D．100%

【答案】A

【解析】设工作总量为300，则A完成90时，B完成50，C完成40。此时三队剩余的工作量分别为10、50、60。

根据题意，可设三队的原效率分别为90、50、40，则新效率分别为30、50、100。

三队完成任务分别还需用时，，。

当A、C均完成时，B又完成的工作量为。

则B完成工作量所占比重为。

【小杨点睛】过程复杂的工程问题需要首先分析清楚过程。

★★☆（2010·联考下·31）一项工程由甲、乙、丙三个工程队共同完成需要15天。甲队与乙队的工作效率相同，丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相当。三队同时开工2天后，丙队被调往另一工地，甲、乙两队留下继续工作。那么，开工22天后，这项工程（　　）。

A．已经完工

B．余下的量需甲、乙两队共同工作1天

C．余下的量需乙、丙两队共同工作1天

D．余下的量需甲、乙、丙三队共同工作1天

【答案】D

【解析】根据题意，设甲、乙、丙三队每天完成的工作量分别为1、1、。则开工22天后剩余的工作量为。故没有完成的工作量为，需要甲、乙、丙三队共同工作1天。

★★★（2011·安徽·9）某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作时，9小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前1小时完成任务。如果同时交换甲和乙、丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多长时间完成任务？（　　）

A．1.4小时

B．1.8小时

C．2.2小时

D．2.6小时

【答案】B

【解析】假设该生产任务的工作量为1，那么原来的工作效率是。由于交换工人甲和乙的岗位，可提前1小时完成任务，那么交换甲和乙的岗位之后的工作效率为，即效率提高了。同理可知，交换工人丙和丁的岗位，效率也可以提高。所以，同时交换工人甲和乙、丙和丁的岗位后，工作效率为，则完成任务所需时间为1÷（小时），也就是说可以提前1.8小时完成生产任务。所以，正确答案为B。

赋值工作效率

★★（2011·国家·67）甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参与B工程，两项工程同时开工，耗时16天同时结束，问丙队在A工程中参与施工多少天？（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】A

【解析】设丙队在A工程中参与施工x天，赋值甲、乙、丙三个工程队的效率分别是6、5、4，根据题意有：6×16+4x=5×16+4×（16-x），解得x=6。故选A。

【小杨点睛】给出了效率之比，赋值工作效率。

★★（2013·北京·83）小张和小赵从事同样的工作，小张的效率是小赵的1.5倍。某日小张工作几小时后小赵开始工作，小赵工作了1小时之后，小张已完成的工作量正好是小赵的9倍。再过几个小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍？（　　）

A．1

B．1.5

C．2

D．3

【答案】C

【解析】赋值小张的工作效率为3，则小赵的工作效率为2。设再过x小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍，则2×9+3x=4×（2+2x），解得x=2。故选C。

★★（2015·山西·54）甲、乙、丙3个施工队，乙的工效与甲、丙两队合作的工效相等，丙的工效是甲、乙两队合作工效的四分之一。现有一项工程，据测算，三队合作30个工作日可完成。如果由甲队单独来做，需要多少个工作日？（　　）

A．60

B．96

C．100

D．150

【答案】C

【解析】首先要分析清楚效率关系。根据题意可知，甲+丙=乙，甲+乙=4丙，两式联立可以得出甲∶乙∶丙=3∶5∶2。赋值三队的效率分别是3、5、2，由合作30个工作日完成可知工作总量是（3+5+2）×30=300，那么如果由甲单独做需要300÷3=100（个）工作日。故正确答案为C。

★★（2010·黑龙江·48）有20人修筑一条公路，计划15天完成。动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？（　　）

A．16

B．17

C．18

D．19

【答案】D

【解析】赋值每人每天的工作量为1，有20人修筑一条公路，计划15天完成，说明这条公路的工作总量是20×15=300，动工3天后抽出5人植树，效率从20变为15，20人修3天完成了20×3=60，那么工作量还剩下300-60=240，这些剩下的工作量需要240÷15=16（天）完成，前后加起来，实际用了3+16=19（天）。

【小杨点睛】工作过程中工作主体数量变动，即是总工作效率发生变化。

★★（2015·国家·61）某农场有36台收割机，要收割完所有的麦子需要14天时间。现收割了7天后增加4台收割机，并通过技术改造使每台机器的效率提升5%。问收割完所有的麦子还需要几天？（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

【答案】D

【解析】比例法。由题意，原有收割机36台，增加4台后变为40台，同时提高效率5%后，每天的效率相当于40×（1+5%）=42（台）收割机的工作效率。前后效率比为36∶42=6∶7，前后工作量相等，故所用时间比为7∶6，还需6天即可完成。

★★★（2013·联考上·50）早上7点两组农民开始在麦田里收割麦子，其中甲组20人，乙组15人。8点半，甲组分出10人捆麦子；10点，甲组将本组所有已割的麦子捆好后，全部帮乙组捆麦子；如果乙组农民一直在割麦子，什么时候乙组所有已割的麦子能够捆好？（假设每个农民的工作效率相同）（　　）

A．10:45

B．11:00

C．11:15

D．11:30

【答案】B

【解析】采用赋值法。设每个农民每小时割麦子的效率为1，由题意，甲组割麦子的总量为20×1.5+10×1.5=45，故每个农民捆麦子的效率为45÷1.5÷10=3；设从10点之后经过x小时，乙组的麦子全部捆好，故乙组割麦子的总量为15×（3+x），捆麦子的总量为20×3×x，可得15×（3+x）=20×3×x，解得x=1。故11:00时麦子可以全部捆好。

★★★（2014·河南·42）一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完A列火车的货物所需的时间是B列火车的2倍。他们从上午10点开始工作，全组人先一起卸载A列火车的货物，到12:30时，分出一半人去卸载B列火车的货物，14点时，A列火车的货已卸载完，B列火车剩下的货物需要14人共同工作1小时才能卸载完。如果该组工人每人的工作效率相同，则该组工人一共有多少人？（　　）

A．28

B．24

C．20

D．16

【答案】D

【解析】赋值每个工人的工作效率均为1，由题意可知，A的货物量是B的2倍。设该组工人一共有2x人，根据题意有2x×2.5+1.5x=2×（1.5x+14），解得x=8，则2x=16。所以，该组工人一共有16人。选择D。

★★（2014·广州·36）有一项工程，甲公司花6天，乙公司再花9天可以完成；或者甲公司花8天，乙公司再花3天可以完成。如果这项工程由甲公司或乙公司单独完成，则甲公司所需天数比乙公司少（　　）天。

A．15

B．18

C．24

D．27

【答案】B

【解析】首先分析两公司的工作效率关系：整体来看，6甲+9乙=8甲+3乙，可得甲=3乙，即甲的工作效率是乙的3倍。赋值乙的工作效率为1，则甲的工作效率为3，可得工作总量为27，则甲单独完成需要9天，乙单独完成需要27天，两公司相差18天。故本题选B。

【小杨点睛】没有具体给出效率比或个体时间的，往往需要从整体入手算出效率之比。

★★☆（2015·天津·6）由于汛期暴雨某路段发生塌陷，要进行抢修，需在规定日期内完成，如果由甲工程队修，恰好按期完成；如果由乙工程队修，则要超过规定日期3天。结果两个工程队合作了2天，余下的部分由乙工程队单独做，正好在规定日期内完成。则规定日期的天数是（　　）。

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】C

【解析】首先分析两队的工作效率关系：从整个工期入手可知，乙队做3天的工作量相当于甲队做2天的工作量，说明甲、乙效率之比是时间的反比，即3∶2。可赋值甲队效率是3、乙队效率是2，设规定日期的天数是x，由题意有3×x=2×（x+3），解得x=6。故正确答案为C。

★★★（2014·山西·65）甲、乙、丙三个工厂承接A和B两批完全相同的加工订单，如果甲厂和乙厂负责A订单而丙厂负责B订单，则丙厂要比甲厂和乙厂晚15天完成；如果在上述条件下甲厂分配13的生产资源或者乙厂分配15的生产资源用于B订单的生产，则A、B两个订单同时完成。问如果合并三个工厂的生产能力，第几天可以完成A订单的生产任务？（　　）

A．22

B．24

C．25

D．26

【答案】D

【解析】此题本质上为工程问题中给定效率比型题目。由第二个条件可知，转移生产资源后两个订单中工厂的效率和相同，可得方程：，乙，联立两个方程可得，则工作效率之比为甲∶乙=3∶5。赋值甲的工作效率为3，乙的工作效率为5，代入两个方程中的任一个可得到丙的效率为6。又由第一个条件设A、B订单的工程量均为x，有x÷（3+5）+15=x÷6，解得x=360。那么三个工厂合作完成A订单的时间为（天），则需要到第26天完成。故正确答案为D。

方程法

★★（2011·国家·77）同时打开游泳池的A、B两个进水管，加满水需1小时30分钟，且A管比B管多进水180立方米。若单独打开A管，加满水需2小时40分钟。则B管每分钟进水多少立方米？（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】B

【解析】先将时间换算为90分钟和160分钟。设B管每分钟进水x立方米，180÷90=2（立方米），则A管每分钟进水（x+2）立方米，则有90[x+（x+2）]=160（x+2），解得x=7。故本题正确答案为B。

★★（2015·山西·60）某工厂接了一批订单，要生产2400件产品。在开始生产10天后，由于工艺改进每天多生产30件产品，结果提前2天交货。问该厂改进工艺前，每天能生产多少件产品？（　　）

A．100

B．120

C．150

D．180

【答案】B

【解析】设该厂改进工艺前每天生产产品x件，完成订单所需天数是y，根据题意可列方程：10 x+（x+30）（y-10-2）=xy=2400，解得x=120。故正确答案为B。

★★（2014·江苏A·39）甲、乙两个工程队共同修建一段长为2100千米的公路，甲队每天比乙队少修50千米，甲队先单独修3天，余下的路程与乙队合修6天完成，则乙队每天所修公路的长度是（　　）。

A．135千米

B．140千米

C．160千米

D．170千米

【答案】D

【解析】设甲的效率为x千米，则乙的效率为（x+50）千米，由题意列方程得：3x+（x+x+50）×6=2100，解方程得x=120，则乙的效率为170千米。答案为D。

★★☆（2014·天津·10）王明抄写一份报告，如果每分钟抄写30个字，则用若干小时可以抄完。当抄完时，将工作效率提高40%，结果比原计划提前半小时完成。问这份报告共有多少字？（　　）

A．6025字

B．7200字

C．7250字

D．5250字

【答案】D

【解析】根据“抄完”这一条件，2与5互质，可知报告总字数是5的倍数，不妨设报告总字数为5x，开始的效率为30，提高后的效率是当前效率的1.4倍，即42；由此可得：=，解得x=1050，则5x=5250。故选D。

★★☆（2014·山东·60）A、B、C三支施工队在王庄和李庄修路，王庄要修路900米，李庄要修路1250米。已知A、B、C三队每天分别能修路24米、30米、32米，A、C两队分别在王庄和李庄修路，B队先在王庄，施工若干天后转到李庄，两地工程同时开始同时结束。问B队在王庄工作了几天？（　　）

A．9

B．10

C．11

D．12

【答案】B

【解析】三支工程队完成两项任务，共用时间为（天），设B队在王庄工作x天，则有24×25+30x=900，解得x=10。故选B。

★★☆（2014·浙江·55）用a、b、c三种不同型号的客车送一批会议代表到火车站，用6辆a型车，5趟可以送完；用5辆a型车和10辆b型车，3趟可以送完；用3辆b型车和8辆c型车，4趟可以送完。问先由3辆a型车和6辆b型车各送4趟，剩下的代表还要由2辆c型车送几趟？（　　）

A．3趟

B．4趟

C．5趟

D．6趟

【答案】B

【解析】运用方程法解题。假设三种型号的客车每辆每趟送人分别为a、b、c，根据题意可得6a×5=（5a+10b）×3=（3b+8c）×4，从而可求得a=2b，c=1.5b。则人数总量可表示为60b。最后一次送人，先送走的人数为（3a+6b）×4=48b，还剩下的人数为60b-48b=12b，所以还要由2辆c型车送12b÷（2×1.5b）=4（趟）。故本题选B。

★★★（2014·山西·53）甲、乙两辆型号不同的挖掘机同时挖掘一个土堆，连续挖掘8小时即可将土堆挖平。现在先由甲单独挖，5小时后乙也加入挖掘队伍，又过了5小时土堆被挖平。已知甲每小时比乙多挖35吨土，则如果土堆单独让乙挖，需要多少小时？（　　）

A．10

B．12

C．15

D．20

【答案】D

【解析】甲每小时比乙多挖35吨，可假设甲的效率是（x+35），乙的效率是x。根据题目条件“甲、乙一起挖8小时可挖完”可知：工作总量=8（x+x+35）；再由“甲先挖5小时，乙也加入，再挖5小时可挖完”可知：工作总量=5（x+35）+5（x+x+35）。由此可得方程：8（x+x+35）=5（x+35）+5（x+x+35），解得x=70，则总量为8×（70+70+35）=1400（吨），因此由乙单独挖需要1400÷70=20（小时）。故选D。