题型三 数列与平均数

等差数列

★（2014·浙江·48）合唱团成员排练时站在一个五级的台阶上，最上面一级站N个人。若上面一级比下面一级多站一个人，则多了7个人；若上面一级比下面一级少站一个人，则少多少人？（　　）

A．4个

B．7个

C．10个

D．13个

【答案】D

【解析】根据第一种站法，可算出总人数为：N+（N-1）+（N-2）+（N-3）+（N-4）+7=5N-3；第二种站法所需要的人数为：N+（N+1）+（N+2）+（N+3）+（N+4）=5N+10。因此，缺少的人数为：（5N+10）-（5N-3）=13。故本题选D。

★（2014·上海A·69）某学校在400米跑道上举行万米长跑活动，为鼓励学生积极参与，制定了积分规则：每跑满半圈积1分，此外，跑满1圈加1分，跑满2圈加2分，跑满3圈加3分……依此类推。那么坚持跑完一万米的同学一共可以得到的积分是（　　）分。

A．325

B．349

C．350

D．375

【答案】D

【解析】积分分两部分：跑半圈得到的积分10000÷400×2=50；跑整圈得到的积分是个等差数列，1+2+3+4+…+25=25×13=250+75=325；因此积分总共为50+325=375（分）。故选择D选项。

★（2012·浙江·49）四个连续奇数的和为32，则它们的积为多少？（　　）

A．945

B．1875

C．2745

D．3465

【答案】D

【解析】四个连续奇数的和为32，则中位数是8，因此四个数是5，7，9，11，这四个数的积>5×7×8×10=2800，结合选项，本题选D。

★★（2013·山东·51）某天办公桌上台历显示的是一周前的日期，将台历的日期翻到当天，正好所翻页的日期加起来是168。那么当天是几号？（　　）

A．20

B．21

C．27

D．28

【答案】D

【解析】7天正好构成等差数列，由平均数等于中位数可得中位数为168÷7=24，则第四天为24号，题干问的是当天，也就是第8天，所以是28号。正确答案为D。

★★（2012·贵州·36）一次竞猜共有10道题目，答对前一道才能作答下一道，下一题的得分均比上题多2分。如果全部答对可以得到100分。问要想获得60分以上，至少要答对多少道题目？（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】C

【解析】这10道题的得分是一个等差数列，公差为2，10个数加起来正好是100，可知中位数为10，即第5题得分9，第6题得分11。易知这10个数为从1开始的10个连续奇数，所以前8个数之和首次超过60。答案选C。

★★（2014·山东·57）某单位举办围棋联赛，所有参赛选手的排名都没有出现并列名次。小周发现除自己以外，其他所有人的排名数字之和正好是70。问小周排名第几？（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

【答案】B

【解析】等差数列求和，所有选手的名次形成了首项为1，公差为1的等差数列，即非0自然数数列。首次超过70的前N项和是前12项，和为78；前13项的和为91；如果一共12个人，那么小周排名第8；如果一共13个人，小周排名第21，产生矛盾，故人数不可能大于等于13。因此一共12人，小周排名第8。

常规做法：设总的人数为N，小周排名为a，有a<N所以有70+a=N（N+1）÷2，即N2+N=140+2a，所以N2-N<140<N2+N，N=12，所以所有选手名次和为78，小周排第8名。故本题答案选择B。

★★（2008·国家·48）{an}是一个等差数列，a 3+a 7-a 1 0=8，a 1 1-a 4=4，则数列前13项之和是（　　）。

A．32

B．36

C．156

D．182

【答案】C

【解析】在等差数列当中，a11-a4=a10-a3=4，因此a7=8+（a10-a3）=12，又因为a7为数列前13项的中位数，所以S13=a7×13=12×13=156。故选择C选项。

★★（2009·国家·12）某校按字母A到Z的顺序给班级编号，按班级编号加01，02，03，…给每位学生按顺序定学号，若A—K班级人数从15人起每班递增1名，之后每班按编号顺序递减2名，则第256名学生的学号是多少？（　　）

A．M12

B．N11

C．N10

D．M13

【答案】D

【解析】根据题意，本题考查等差数列的求和，K是第11个字母，那么，A班有15人，K班有15+10=25（人），前面A—K班一共有（人），剩下256-220=36（人）排到K后面的班级，L班按照题意排23人，剩下13人到M班，因此最后一个学生的编号为M13。故选择D选项。

★★（2010·黑龙江·46）某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂剩工人240人。如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（一人工作一天为1个工作日），且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人？（　　）

A．2

B．60

C．240

D．298

【答案】B

【解析】到月底总厂剩下240名工人，这240名工人一个月的工作日为240×30=7200（个）。而8070-7200=870（个），可知这870个工作日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工作日。设每天派a人到分厂工作，则这些人中留在总厂的工作日是：a人做29天，a人做28天，a人做27天……a人做1天，即每天的工作日构成等差数列。所以，（1+29）×a×29 ÷ 2=870，可解得a=2。故派到分厂的工人共有2 ×30=60（人）。

★★（2012·国家·78）某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少？（　　）

A．602

B．623

C．627

D．631

【答案】B

【解析】等差数列的平均数等于其中位数的值，故可得第五名得分为86，第三名得分为460÷5=92（分），第四名的得分为（92+86）÷2=89（分）。等差数列的和等于其平均数乘以项数，前七名的总分为89×7=623（分）。

★★☆（2010·江苏C·28）在连续奇数1，3，…，205，207中选取N个不同数，使得它们的和为2359，那么N的最大值是（　　）。

A．47

B．48

C．50

D．51

【答案】A

【解析】本题直接入手求和繁琐，考虑代入排除。和为2359，求N的最大值，那么尽量从最小数连续选起，才能满足这个要求。前N个正奇数的和为N2，同时，和为2359，只有奇数×奇数才为奇数，说明N必为奇数，排除B和C。51个奇数的和至少为1+3+5+…+101=512>2500，D选项不能满足要求，排除。故选A。

等比数列

★（2010·安徽·14）一只蚂蚁发现了一只死螳螂，立刻回洞找来10只蚂蚁搬，搬不动；然后每只蚂蚁回去各找10只蚂蚁，还是搬不动；每只蚂蚁又回去找来10个伙伴，终于把死螳螂拖回洞里，问共有多少只蚂蚁参加了搬运？（　　）

A．1210

B．1257

C．1331

D．1441

【答案】C

【解析】一只蚂蚁回洞找10只同伴，共有11只蚂蚁，11只蚂蚁再回洞找同伴，每只找10只，共找来同伴11×10=110（只），加上原来的11只，则共有蚂蚁121只，121只蚂蚁再回洞找同伴，共找来121×10=1210（只），加上去原来的121只，则共有蚂蚁1210+121=1331（只）。故选C项。本题计算时易忽略掉去找同伴的那些蚂蚁，从而得到错误选项。

★（2011·联考下·58）小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比，已知小赵的收入是3000元，小孙的收入是3600元，那么小周比小孙的收入高（　　）。

A．700元

B．720元

C．760元

D．780元

【答案】B

【解析】小孙的收入为小赵的3600÷3000=1.2（倍），由题意知小周的收入也是小孙的1.2倍，所以小周比小孙多收入3600×1.2-3600=720（元）。故选B。

★★（2015·山西·64）商店本周从周一到周日出售A、B两种季节性商品，其中A商品每天销量相同，而B商品每天的销量都是前一天的一半。已知周五和周六，A、B两种商品的销量之和分别为220件和210件，问从周一到周日A商品总计比B商品多卖出多少件？（　　）

A．570

B．635

C．690

D．765

【答案】D

【解析】根据周五、周六两天的销量有，可得A=200，B=20。7天内A商品一共卖了=200×7=1400（件），B商品总共卖了一个等比数列，和为5（周日）+10（周六）+20（周五）+40（周四）+80（周三）+160（周二）+320（周一）=635，二者之差是765，故正确答案为择D选项。

★★☆（2013·江苏A·31）一个公比为2的等比数列，第n项与前n-1项和的差等于5，则此数列前4项之和为（　　）。

A．70

B．85

C．80

D．75

【答案】D

【解析】方法一：直接入手不易，考虑特殊值法。由题意，假设n=2时，有a2-a1=2a1-a1=a1=5，则此数列的第一项为5，此数列的前四项是5，10，20，40，则前四项和为5+10+20+40=75，答案为D。

方法二：本题也可采用方程法。设等比数列的首项为x，由题意得：2n-1x-，解得x=5。因此数列的前4项之和=5+10+20+40=75。

★★★（2014·深圳·47）甲、乙两厂生产同一种汽车，甲厂每月产量保持不变，乙厂每月产量翻番。已知第1个月甲、乙两厂共生产88辆汽车，第2个月甲、乙两厂共生产96辆汽车，那么乙厂每月产量第一次超过甲厂是在第（　　）个月。

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】B

【解析】甲每月生产的量不变，则甲、乙第二月的生产总量比第一月多出来的便是乙“翻番”得到的。即乙第一个月的产量=甲、乙二月总产量-甲、乙一月总产量=96-88=8（辆）。即甲第一个月生产80辆，假设乙厂第n个月的产量超过甲厂，则8×2n-1>80，n≥5，即第5个月乙厂产量首次超过甲厂，因此选B。

其他数列

★（2011·深圳上·13）已知一对幼兔能在一个月后长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一个月后生出一对幼兔，如果现在给你一对幼兔，问一年后共有（　　）对兔子（假设每对兔子都为雌雄各一只）。

A．88

B．100

C．144

D．204

【答案】C

【解析】设第n个月共有Fn对兔子，第n个月新生幼兔Sn对，则：

Fn=Fn-1+Sn，Sn=Fn-2，因此Fn=Fn-1+Fn-2（n≥2），且F1=F2=1。

即从第三项开始每一项都是数列中前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，这就是著名的斐波那契数列，第12项为144。C项为正确选项。

★☆（2011·上海A·60）一水果贩将橘子堆成长方形垛（下图表示长方形垛的垒法），若最底层长边有10个橘子，短边有5个橘子，则此长方形垛最多可以放（　　）个橘子。

A．110

B．120

C．130

D．140

【答案】C

【解析】最底层的橘子数是10×5，往上一层就是（10-1）×（5-1），再往上依次减1，但由于短边橘子少，最上面一层，短边的橘子个数不能小于1，因此最多可放10×5+9×4+8×3+7×2+6×1=130（个）。

★☆（2011·广州·34）下边这个“金字塔”中每格数字都是该格所对应的下面两格数字之和，如，16是4和12之和。则问号代表的数字是（　　）。

A．7

B．14

C．16.5

D．45

【答案】A

【解析】设问号处代表的数字为x，则16右边的两个数字分别为12+x，x+25，则第二行的两个数字为28+x，2x+37，可得28+x+2x+37=86，解得x=7。故选A。

平均数

★（2011·江苏C·31）已知数据23，25，26，22，21，27，28，24，30，33，用这10个数分别减去其平均数，所得10个差值的和为（　　）。

A．3

B．2

C．0

D．-3

【答案】C

【解析】平均数为这10个数的平均值，10个数之和为平均数的10倍，因此所得10个差值之和为0。

★☆（2010·安徽·7）在1—101中5的倍数的所有数的平均数是（　　）。

A．52.5

B．53.5

C．54.5

D．55.5

【答案】A

【解析】由题干知，本题要求的是1—101中5的倍数的所有数的平均数，即等差数列5，10，15，…，100中各项值的平均数，即：，故选A。

★☆（2014·广州·35）有七位考官对一位应聘者评分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则平均分为7分；如果只去掉一个最高分，则平均分为6.75分；如果只去掉一个最低分，则平均分为7.25分。那么，这位应聘者所得的7个分数中，最高分与最低分的差值为（　　）分。

A．1.5

B．2

C．3

D．3.5

【答案】C

【解析】根据题干可知，去掉一个最高分和一个最低分之后，总分为7×5=35（分）。设最高分为x，最低分为y，根据题意可得：

。

联立①②，解得x-y=3。故本题选C。

★☆（2014·深圳·54）8名同学参加公益义卖活动，义卖结束时筹得善款前3名的同学平均每人筹得150元，而排名后5名的同学平均每人筹得的善款比8人的平均数少15元，则这8名同学平均每人筹得善款（　　）元。

A．110

B．115

C．120

D．125

【答案】D

【解析】设8名同学每人平均筹得善款x元，根据题意可得，3×150+5×（x-15）=8x，解得x=125。因此，本题的答案选D。

★★（2014·山东·58）某班级在一次考试阅卷后，发现有一道选择题的答案有误，正确答案应为A，但误写为C，此题分值为3分。调整答案时发现，此题未选A、C两个选项的人数为班级总人数的，修改分数后班级平均分提高了1分。问选择A答案的人数占班级总人数的多少？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】假设总人数是3个人，选B、D总人数就是1个人，选A和C的总人数为2个人，修改答案前这道题总得分为3C，修改后总得分为3A，修改分数后班级平均分提高了1分，则总分差了3分，所以有。解得，所以占总人数比例为。答案为A。

★★（2015·广东·32）某次考试中，成绩不超过30分的有153名考生，平均分为24分；成绩不低于80分的有59名考生，平均分为92分；成绩超过30分的平均分为62分；成绩低于80分的平均分为54分。那么参加这次考试的考生共有（　　）人。

A．795

B．875

C．1007

D．1264

【答案】C

【解析】设总人数有x人，那么根据题意有（x-153）×62-59×92=（x-59）×54-153×24。解得x=1007。故正确答案为C选项。

★★（2007·国家·52）某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成绩为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是（　　）。

A．84分

B．85分

C．86分

D．87分

【答案】A

【解析】假设女生人数为10，那么男生人数为18；假设男生平均成绩为x，那么女生的平均成绩为1.2x。根据题意列方程12x+18x=28×75，解得x=70。那么女生的平均分为70×1.2=84（分）。答案为A。

★★（2010·吉林·7）某班一次期末数学考试成绩，平均分为95.5分，后来发现小林的成绩是97分误写成79分。再次计算后，该班平均成绩是95.95分。则该班人数是（　　）。

A．30人

B．40人

C．50人

D．60人

【答案】B

【解析】由于小林的成绩是97分误写成79分，因此第二次计算的全班总分数比第一次要多97-79=18（分），正是这多出来的18分，使得第二次计算的平均成绩比第一次多95.95-95.5=0.45（分）。即18分平均分配到全班每一个人平均增加了0.45分，因此全班共有18÷0.45=40（人）。故选B。

★★（2013·国家·74）小王参加了五门百分制的测验，每门成绩都是整数。其中语文94分，数学的得分最高，外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分，并且是五门中第二高的得分。问小王的物理考了多少分？（　　）

A．94

B．95

C．96

D．97

【答案】C

【解析】由奇偶特性，根据“每门成绩都是整数”“语文94分”“外语的得分等于语文和物理的平均分”，得到物理成绩应为偶数，由此排除B、D两项。再利用代入排除法，如果物理考了94分，则外语的得分为94分，化学的得分为96分，数学的得分为92分，不满足“数学的得分最高”的题目要求，排除A项。故本题选择C。

★★☆（2011·北京·75）某学生参加了六次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平均分少2分，如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得几分？（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】A

【解析】设六次分数分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，则有：（x3+x4）-（x1+x2）=2×2，（x5+x6）-（x3+x4）=2×2，（x1+x2+x3）+3×3=x4+x5+x6，三式相加消元，可得：x4-x3=1，故正确答案为A。

★★☆（2013·浙江A·46）用1，2，3，4，5，6这六个数字组成不同的六位数，所有这些六位数的平均值是（　　）。

A．350000

B．355550

C．355555.5

D．388888.5

【答案】D

【解析】观察1，2，3，4，5，6这六个数字组成的不同六位数，可知这些六位数相对应数位和的平均值均是1，2，3，4，5，6的和除以6乘以相应数位值，即个位为（1+2+3+4+5+6）÷6=3.5，十位为（1+2+3+4+5+6）×10÷6=35，百位为（1+2+3+4+5+6）×100÷ 6=350，千位为（1+2+3+4+5+6）×1000÷6=3500，万位为（1+2+3+4+5+6）×10000÷6=35000，十万位为（1+2+3+4+5+6）×100000÷6=350000。因此，所有这些六位数的平均值为350000+35000+3500+350+35+3.5=388888.5。故本题选D。

★☆（2013·江苏C·30）某人购买A、B两种调料的单价分别为20元/千克、30元/千克。假设购买这两种调料所花费的钱数额一样，则由A、B两种调料混合后的新调料每千克的成本是（　　）。

A．23元

B．24元

C．25元

D．26元

【答案】B

【解析】本题属于调和平均数问题。设两种调料均花费了60元，则A、B两调料各购买了3千克和2千克，则混合后每千克的成本为（元）。故本题选B。

【小杨点睛】调和平均数计算公式：。

★☆（2013·江苏B·88）现需要购买两种调料加工成一种新调料，两种调料的价格分别为20元/千克、30元/千克，如果购买这两种调料所花钱一样多，则每千克新调料的成本是（　　）。

A．23元

B．25元

C．24元

D．29元

【答案】C

【解析】方法一：本题属于调和平均数问题，可以直接套用公式。所求成本=（元）。

方法二：已知买两种调料花的钱一样多，为了计算方便，设购买了3千克第一种调料和2千克第二种调料，那么每千克新调料的价格为（元）。