第2章

电磁场基本理论的梳理—绕不开的麦克斯韦方程

2.1 麦克斯韦方程

麦克斯韦方程组决定着空间区域中场和源的相互依赖关系，它由几个实验发现和纯数学推导得到的一组定律，共四个方程组成，分别为法拉第定律、安培环路定律、电场的高斯定律和磁场的高斯定律。不仅要掌握麦克斯韦方程组的数学形式，而且还要深入理解其物理意义，为后续RFID标签设计打下牢固的理论基础，特别是对标签基材的选择，有一个理论上的认知和判断。

2.1.1 法拉第定律

麦克斯韦方程的第一个公式是迈克尔·法拉第（Michael Faraday）在1831年的一个实验中发现的结论。法拉第发现当穿过闭合线圈的磁通量随着时间变化时，闭合线圈中会有电流产生，这意味着环绕闭合线圈感应生成了电压或电动势，电动势简写为emf。磁通量的变化可以由穿过闭合线圈的磁通量随时间变化而引起，或者在一个静态的磁场中移动线圈引起，或者两者的共同作用，即在时变磁场中移动线圈。

为了说明环绕线圈的感应电动势的极性或穿过闭合线圈的磁通量的方向，考虑如图2.1所示的位于纸面内的一个平面圆环。这样，以顺时针或逆时针方向讨论电动势的方向。顺时针方向的电动势是指电场E环绕线圈的线积分以顺时针方向进行，如图2.1（a）和图2.1（b）所示；逆时针方向的电动势是指电场E环绕线圈的线积分以逆时针方向进行，如图2.1（c）和图2.1（d）所示。两者互为相反数。穿过线圈进入到纸面内的磁通量是B在线圈所张的曲面上进行的面积分∫B·dS，曲面的法向矢量指向纸面内部，如图2.1（a）和图2.1（c）所示。从纸面内穿出的磁通量也是B在线圈所张的曲面上进行的面积分∫B·dS，但曲面的法向矢量指向纸面外部，如图2.1（b）和图2.1（d）所示。因此两者互为相反数。

如果不考虑极性的话，就线圈内的感生电动势和穿过线圈的磁通量，可以得到如下4个方程：

第四个方程和第一个方程是一致的，第三个方程和第二个方程是一致的。因此，只需要对第一个和第二个方程做出判断，这两个方程的电动势的结果互为相反数，其中只有一个是正确的。法拉第的实验表明第二个方程是正确的。如果要使用顺时针的感生电动势和进入纸面的磁通量，或者逆时针的感生电动势和从纸面穿出的磁通量，必须在时间微分的前面加一个负号。事实上，这是传统的做法。当图2.2（a）和2.2（b）所示螺钉的旋转与圆圈的旋转方向一样时，曲面的法向方向选择为指向螺钉前进方向。这被称为右手螺旋法则，右手螺旋法则被应用到所有的电磁场定律中。

可以将法拉第定律写成

式中，曲面S是曲线C所张的曲面。曲面S不必是平面，可以是曲线C所张的任意曲面，如图2.3所示，意味着穿过曲线C所张的所有曲面的磁通量都是相同的。后面将会利用这一点。实际上，如果C不是平面环的话，C就不可能张成一个平面。C不必是真实的闭合线圈，可以是任何虚拟的闭合路径。这意味着时变的磁通量会感应出电场，会在闭合路径产生电动势。一个导电线圈放在闭合路径的位置，则感生电动势会在线圈中驱动电流流动，因为电荷被限制沿着导线移动。

2.1.2 安培环路定律

安培环路定律是奥特斯电流产生磁场的实验发现和麦克斯韦对时变电场产生磁场的数学贡献的结合。正是麦克斯韦的贡献导致电磁波传播的预言，即使先前在实验室上并没有发现电磁波。安培环路定律的数学形式如下：

式中，S为曲线C所张的任意曲面，如图2.4所示。为了计算式（2.3）右侧的面积分，需选取曲面的法向矢量方向：当沿着曲线C环绕时，曲面的方向是右手螺旋前进的方向，如同法拉第定律一样。方程右侧的面积分必须在相同的曲面上进行。

式（2.3）右侧的J为体电流密度矢量，其大小为考察点处的单位面积电流的最大值。因此，量∫SJ·dS（J在曲面S的面积分）有着电流的意义，该电流由穿过曲线C所张的曲面S的电荷流动形成。这个量也包括穿过曲线C的线电流和面电流。线电流即沿着极细的导线传输的电流，面电流为沿着带状导线流动的电流。因此，虽然∫SJ·dS在形式上是体电流密度矢量J的积分形式，但是却是所有的穿过曲面S的电流代数和。

式（2.3）右侧的∫Sε0E·dS是矢量场ε0E穿过曲面S的通量。矢量ε0E称为电位移矢量或位移通量密度矢量，用符号D表示。E的单位为（电量）/[（介电常数）（距离）2]，D的单位为库仑每平方米。由此，∫Sε0E·dS即电位移通量有电量的单位，有对电量进行时间微分运算或电流的电位，即电流的单位，被称为位移电流。从物理上讲，即从电荷流动形成的意义上来说，它并不是电流，但从数学上看，它和电流穿过曲面S是相同的。

式（2.3）左侧的是矢量B/μ0绕闭合曲线C的线积分。的物理意义是磁场沿着闭合曲线C移动电荷一周对单位电荷所做的功。没有类似的物理意义。对于运动电荷的磁场力是垂直于电荷运动方向的，并且也是垂直于磁场方向的，因此磁场在电荷的移动中是不做功的。B/μ0被称为磁场强度矢量，用符号H表示。磁场B的单位为[（磁导率）（电流）（长度）]/[（距离）2]，所以可知H的单位为安培每米。这就使得线积分后的单位为电流的单位安培。同电场绕闭合曲线的积分称为电动势类似，磁场强度绕闭合曲线的积分称为磁动势，简写为mmf。

分别用H代替B/μ0，用D代替ε0E（参见式2.3），安培环路定律可写成

式（2.4）说明了绕闭合C包围的所有电流，包括电流流动形成的真实电流及位移电流。曲线C包围的所有电流是指穿过曲线C所张的任意曲面的所有电流。这意味着穿过C所张的所有可能的曲线的电流一定是一样的，因此为一个唯一的值。

2.1.3 电场的高斯定律

电场的高斯定律表述为从闭合曲面S中流出的净电位移通量等于闭合曲面包围的空间中的电荷总量，如图2.5所示。尽管称为高斯定律，但是此定律起源于法拉第所做的实验。高斯定律的数学形式为

式中，ρ为体积V中场点的体电荷密度。

某点处的体电荷密度定义为在该点处当体积收缩趋于零的极限时，单位体积包含的电荷量。因此有

对于已知电荷密度，计算给定体积中包含的电荷，为了方便说明，考虑如下的电荷密度：

立方的体积V由平面x=0，x=1，y=0，y=1，z=0，z=1包围而成。立方的体积中包含的电荷Q为

式（2.5）右侧的量是闭合曲面S包围的体积V中包含的电荷量，该量和式（2.5）左侧的量相等。尽管它是以体密度表示的，但是也包括曲面S包围着的面电荷、线电荷与点电荷，即它代表着体积V中包含的所有电荷代数和。

电场的高斯定律和安培环路定律不是独立的，这是因为如果从电荷守恒的观点看，从闭合曲面S中流出的电荷形成的电流等于闭合曲面S包围的体积V中电荷减少的速率，即

或

这被称为电荷守恒定律。正是这个定律导致了麦克斯韦对安培环路定律的数学贡献。安培环路定律的初始形式并不包含位移电流项，对于时变电场来说，会发现安培环路定律和式（2.7）不一致。

回到高斯定律和安培环路定律通过式（2.7）关联的讨论上，考虑图2.6所示的几何结构，其中有闭合曲线C，以及C所张的两个曲面S1和S2。对C和S1及C和S2应用安培环路定律，分别有

将式（2.8a）和式（2.8b）合并，有

现在使用式（2.7），得到

或

式中，用S代替S1和S2；V为被S1+S2包围的体积。由式（2.10）可以得到

如果式（2.11）的右侧为零，则得到

这就是电场的高斯定律。

2.1.4 磁场的高斯定律

磁场的高斯定律表述为从闭合曲面S流出的磁通量等于零。其数学形式为

在物理意义上，式（2.12）意味着磁荷不存在，并且磁通线是闭合的。任何的磁通线从闭合曲面的某一部分进入（离开）闭合曲线，一定从闭合曲面的其他部分离开（进入）闭合曲面，如图2.7所示。

通过图2.7所示的几何结构可以看出，式（2.12）和法拉第定律相关联。对曲线C和曲面S1应用法拉第定律，有

式中，dS1指向S1+S2形成的闭合曲面的外部。对于曲线C和曲面S2应用法拉第定律，有

式中，dS2指向S1+S2形成的闭合曲面的外部。联立式（2.13）和式（2.14），有

或

或

由于没有试验证据表明式（2.17）右侧不为0，所以得到

式中用S代替S1+S2。

2.1.5 小结

本节介绍了麦克斯韦方程组的积分形式。这些方程构成了电磁场理论基础，下面是这些方程的文字描述和数学形式，并且分别用图2.3、图2.4、图2.5和图2.7进行了说明。

法拉第定律：绕闭合路径C的电动势等于穿过该闭合路径的磁通量对时间的负导数，即

安培环路定律：绕闭合路径C的磁动势等于该闭合路径包含的电流总和。电流包括真实的电荷流动形成的电流和曲线C包含的位移通量随时间的变化率形成的位移电流，即

电场的高斯定律：闭合曲面S流出的位移通量等于闭合曲面包围的电荷总量，即

磁场的高斯定律：从闭合曲面流出的磁通量等于0，即

矢量D和H称为位移通量密度矢量和磁场强度矢量，与称为电场强度的E矢量、磁通密度矢量的B矢量有下面的关系：

式中，ε0和μ0分别为真空中的介电常数和真空磁导率。在计算式（2.18）和（2.19）的右侧时，曲线的法向矢量必须按照右手螺旋法则进行选取，即当绕C旋转时，选择右手螺钉旋转的前进方向为曲面的法向矢量的方向，如图2.3和2.4所示。式（2.21）和式（2.18）不是相互独立的，并且式（2.20）可由式（2.19）借助电荷守恒定律得到，电荷守恒定律的数学形式为

用文字描述式（2.24）：穿过闭合曲面S的电荷流动形式的电流总和加上闭合曲面S包围的体积V内的电荷随时间的增长率等于0。在式（2.20）、式（2.21）和式（2.24）中，闭合面积分的计算是为获得从曲面包围的体积中向外流出的通量而设置的。

最后，可以知道时变的电场和磁场是相关的，因为根据法拉第定律式（2.18），时变的磁场产生电场，而根据安培环路定律式（2.19），时变的电场产生磁场，而且安培环路定律说明电流可以产生磁场。这些性质形成了电磁波辐射和传播现象的基础。