封面
版权信息
内容简介
作者简介
前言Preface
致谢Acknowledgement
使用本书How to Use the Book
绪论Introduction
0.1 本册在全套丛书的定位
0.2 结构：七大板块
0.3 特点：多重视角
Section 01 向量
01 Vector and More 不止向量
1.1 有数据的地方，必有矩阵
1.2 有矩阵的地方，更有向量
1.3 有向量的地方，就有几何
1.4 有几何的地方，皆有空间
1.5 有数据的地方，定有统计
02 Vector Calculations 向量运算
2.1 向量：多面手
2.2 行向量、列向量
2.3 向量长度：模，欧氏距离，L2范数
2.4 加减法：对应位置元素分别相加减
2.5 标量乘法：向量缩放
2.6 向量内积：结果为标量
2.7 向量夹角：反余弦
2.8 余弦相似度和余弦距离
2.9 向量积：结果为向量
2.10 逐项积：对应元素分别相乘
2.11 张量积：张起网格面
03 Vector Norm 向量范数
3.1 Lp范数：L2范数的推广
3.2 Lp范数和超椭圆的联系
3.3 L1范数：旋转正方形
3.4 L2范数：正圆
3.5 L∞范数：正方形
3.6 再谈距离度量
Section 02 矩阵
04 Matrix 矩阵
4.1 矩阵：一个不平凡的表格
4.2 矩阵形状：每种形状都有特殊用途
4.3 基本运算：加减和标量乘法
4.4 广播原则
4.5 矩阵乘法：线性代数的运算核心
4.6 两个视角解剖矩阵乘法
4.7 转置：绕主对角线镜像
4.8 矩阵逆：“相当于”除法运算
4.9 迹：主对角元素之和
4.10 逐项积：对应元素相乘
4.11 行列式：将矩阵映射到标量值
05 Dive into Matrix Multiplication 矩阵乘法
5.1 矩阵乘法：形态丰富多样
5.2 向量和向量
5.3 再聊全1列向量
5.4 矩阵乘向量：线性方程组
5.5 向量乘矩阵乘向量：二次型
5.6 方阵乘方阵：矩阵分解
5.7 对角阵：批量缩放
5.8 置换矩阵：调换元素顺序
5.9 矩阵乘向量：映射到一维
5.10 矩阵乘矩阵：映射到多维
5.11 长方阵：奇异值分解、格拉姆矩阵、张量积
5.12 爱因斯坦求和约定
5.13 矩阵乘法的几个雷区
06 Block Matrix 分块矩阵
6.1 分块矩阵：横平竖直切豆腐
6.2 矩阵乘法第一视角：标量积展开
6.3 矩阵乘法第二视角：外积展开
6.4 矩阵乘法更多视角：分块多样化
6.5 分块矩阵的逆
6.6 克罗内克积：矩阵张量积
Section 03 向量空间
07 Vector Space 向量空间
7.1 向量空间：从直角坐标系说起
7.2 给向量空间涂颜色：RGB色卡
7.3 张成空间：线性组合红、绿、蓝三原色
7.4 线性无关：红色和绿色，调不出青色
7.5 非正交基底：青色、品红、黄色
7.6 基底转换：从红、绿、蓝，到青色、品红、黄色
08 Geometric Transformations 几何变换
8.1 线性变换：线性空间到自身的线性映射
8.2 平移：仿射变换，原点变动
8.3 缩放：对角阵
8.4 旋转：行列式值为1
8.5 镜像：行列式值为负
8.6 投影：降维操作
8.7 再谈行列式值：几何视角
09 Orthogonal Projection 正交投影
9.1 标量投影：结果为标量
9.2 向量投影：结果为向量
9.3 正交矩阵：一个规范正交基
9.4 规范正交基性质
9.5 再谈镜像：从投影视角
9.6 格拉姆-施密特正交化
9.7 投影视角看回归
10 Data Projection 数据投影
10.1 从一个矩阵乘法运算说起
10.2 二次投影+层层叠加
10.3 二特征数据投影：标准正交基
10.4 二特征数据投影：规范正交基
10.5 四特征数据投影：标准正交基
10.6 四特征数据投影：规范正交基
10.7 数据正交化
Section 04 矩阵分解
11 Matrix Decompositions 矩阵分解
11.1 矩阵分解：类似因式分解
11.2 LU分解：上下三角
11.3 Cholesky分解：适用于正定矩阵
11.4 QR分解：正交化
11.5 特征值分解：刻画矩阵映射的特征
11.6 奇异值分解：适用于任何实数矩阵
12 Cholesky Decomposition Cholesky分解
12.1 Cholesky分解
12.2 正定矩阵才可以进行Cholesky分解
12.3 几何角度：开合
12.4 几何变换：缩放→开合
12.5 推广到三维空间
12.6 从格拉姆矩阵到相似度矩阵
13 Eigen Decomposition 特征值分解
13.1 几何角度看特征值分解
13.2 旋转→缩放→旋转
13.3 再谈行列式值和线性变换
13.4 对角化、谱分解
13.5 聊聊特征值
13.6 特征值分解中的复数现象
14 Dive into Eigen Decomposition 深入特征值分解
14.1 方阵开方
14.2 矩阵指数：幂级数的推广
14.3 斐波那契数列：求通项式
14.4 马尔科夫过程的平稳状态
14.5 瑞利商
14.6 再谈椭圆：特征值分解
15 Singular Value Decomposition 奇异值分解
15.1 几何视角：旋转→缩放→旋转
15.2 不同类型SVD分解
15.3 左奇异向量矩阵U
15.4 右奇异向量矩阵V
15.5 两个视角：投影和数据叠加
16 Dive into Singular Value Decomposition 深入奇异值分解
16.1 完全型：U为方阵
16.2 经济型：S去掉零矩阵，变方阵
16.3 紧凑型：非满秩
16.4 截断型：近似
16.5 数据还原：层层叠加
16.6 估计与误差：截断型SVD
16.7 正交投影：数据正交化
Section 05 微积分
17 Derivatives of Multivariable Functions 多元函数微分
17.1 偏导：特定方向的变化率
17.2 梯度向量：上山方向
17.3 法向量：垂直于切平面
17.4 方向性微分：函数任意方向的变化率
17.5 泰勒展开：一元到多元
18 Lagrange Multiplier 拉格朗日乘子法
18.1 回顾优化问题
18.2 等式约束条件
18.3 线性等式约束
18.4 非线性等式约束
18.5 不等式约束
18.6 再谈特征值分解：优化视角
18.7 再谈SVD：优化视角
18.8 矩阵范数：矩阵→标量，矩阵“大小”
18.9 再谈数据正交投影：优化视角
Section 06 空间几何
19 From Lines to Hyperplanes 直线到超平面
19.1 切向量：可以用来定义直线
19.2 法向量：定义直线、平面、超平面
19.3 超平面：一维直线和二维平面的推广
19.4 平面与梯度向量
19.5 中垂线：用向量求解析式
19.6 用向量计算距离
20 Revisit Conic Sections 再谈圆锥曲线
20.1 无处不在的圆锥曲线
20.2 正圆：从单位圆到任意正圆
20.3 单位圆到旋转椭圆：缩放→旋转→平移
20.4 多元高斯分布：矩阵分解、几何变换、距离
20.5 从单位双曲线到旋转双曲线
20.6 切线：构造函数，求梯度向量
20.7 法线：法向量垂直于切向量
21 Surfaces and Positive Definiteness 曲面和正定性
21.1 正定性
21.2 几何视角看正定性
21.3 开口朝上抛物面：正定
21.4 山谷面：半正定
21.5 开口朝下抛物面：负定
21.6 山脊面：半负定
21.7 双曲抛物面：不定
21.8 多极值曲面：局部正定性
Section 07 数据
22 Statistics Meet Linear Algebra 数据与统计
22.1 统计+线性代数：以鸢尾花数据为例
22.2 均值：线性代数视角
22.3 质心：均值排列成向量
22.4 中心化：平移
22.5 分类数据：加标签
22.6 方差：均值向量没有解释的部分
22.7 协方差和相关性系数
22.8 协方差矩阵和相关性系数矩阵
23 Four Vector Spaces 数据空间
23.1 从数据矩阵X说起
23.2 向量空间：从SVD分解角度理解
23.3 紧凑型SVD分解：剔除零空间
23.4 几何视角说空间
23.5 格拉姆矩阵：向量模、夹角余弦值的集合体
23.6 标准差向量：以数据质心为起点
23.7 白话说空间：以鸢尾花数据为例
24 Data Matrix Decomposition 数据分解
24.1 为什么要分解矩阵？
24.2 QR分解：获得正交系
24.3 Cholesky分解：找到列向量的坐标
24.4 特征值分解：获得行空间和零空间
24.5 SVD分解：获得四个空间
25 Selected Use Cases of Data 数据应用
25.1 从线性代数到机器学习
25.2 从随机变量的线性变换说起
25.3 单方向映射
25.4 线性回归
25.5 多方向映射
25.6 主成分分析
更新时间：2024-12-27 22:15:37
完结共219章
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